(a+b)^3 の展開は係数が 1、3、3、1 になる｜三次式の展開と因数分解

$3$ 乗の展開は係数が $1,3,3,1$ です。

$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^3& =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\\ (a-b{)}^3& =a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\end{array}$$

$(a-b{)}^3$ の係数は $2$ 番目と $4$ 番目の係数がマイナスになります。ここが三次式の展開でややこしい。次の展開公式はどちらかというと因数分解の公式といえるかもしれない。

$$\begin{array}{rl}(a+b)(a^2-ab+b^2)& =a^3+b^3\\ (a-b)(a^2+ab+b^2)& =a^3-b^3\end{array}$$

左から右に考えると展開、右から左に考えると因数分解。$a^3+b^3$ の因数分解はさまざまな場面で出てきます。個人的に $a^3+b^3$ と $a^3-b^3$ の因数分解は高校数学で最重要と思っています。最後の展開公式も大事です。

$$\begin{array}{r}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)=a^3+b^3+c^3-3abc\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(x+1{)}^3& =x^3+3x^2\cdot 1+3x\cdot 1^2+1^3\\ & =x^3+3x^2+3x+1\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(2x+3{)}^3& =(2x{)}^3+3(2x{)}^2\cdot 3+3(2x)\cdot 3^2+3^3\\ & =8x^3+36x^2+36x+27\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(x-2{)}^3& =x^3-3x^2\cdot 2+3x\cdot 2^2-2^3\\ & =x^3-6x^2+12x-8\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(3x-1{)}^3& =(3x{)}^3-3(3x{)}^2\cdot 1+3(3x)\cdot 1^2-1^3\\ & =27x^3-27x^2+9x-1\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(-x-3{)}^3& =(-x{)}^3-3(-x{)}^2\cdot 3+3(-x)\cdot 3^2-3^3\\ & =-x^3-9x^2-27x-27\end{array}$$