LaTeX で二項係数（binom）を書く方法

組み合わせの数を表す二項係数を LaTeX で書く方法を解説します。

基本の書き方

二項係数は \binom コマンドで書きます。

$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

\binom{n}{k}

これは「n 個から k 個を選ぶ組み合わせの数」を表し、 $_{n} C_{k}$ や $C (n, k)$ とも書かれます。

パスカルの三角形の各要素は二項係数です。

$(0 0) = 1, (1 2) = 2, (2 5) = 10$

二項定理では次のように使います。

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{n - k} b^{k}$

インライン数式では $(k n)$ と小さく表示されます。大きさを調整したい場合は \dbinom（ディスプレイサイズ）や \tbinom（テキストサイズ）を使います。

dbinom

$(k n)$ — 常に大きいサイズ

tbinom

$(k n)$ — 常に小さいサイズ

二項係数にはいくつかの記法があります。

$_{n} C_{k}$ を出力するには {}_nC_k と書きます。波括弧で空グループを作ることで位置を調整しています。

$n$ が負の数や実数の場合も二項係数を定義できます。

$(k α) = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !}$

これは一般化二項定理で使われます。

$(1 + x)^{α} = k = 0 \sum \infty (k α) x^{k} (∣ x ∣ < 1)$

3つ以上のものを分ける場合は多項係数を使います。LaTeX では分数で直接書くか、括弧で囲んで縦に並べます。

$(k _{1} , k _{2} , k _{3} n) = \frac{n !}{k _{1} ! k _{2} ! k _{3} !}$

\binom{n}{k_1, k_2, k_3}

amsmath パッケージを使っていれば、このように書けます。