LaTeX で二項係数（binom）を書く方法

組み合わせの数を表す二項係数を LaTeX で書く方法を解説します。

基本の書き方

二項係数は \binom コマンドで書きます。

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

\binom{n}{k}

これは「n 個から k 個を選ぶ組み合わせの数」を表し、${}_n{C}_k$ や $C(n,k)$ とも書かれます。

具体例

パスカルの三角形の各要素は二項係数です。

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=1,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)=2,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$$

二項定理では次のように使います。

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$$

サイズの調整

インライン数式では $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ と小さく表示されます。大きさを調整したい場合は \dbinom（ディスプレイサイズ）や \tbinom（テキストサイズ）を使います。

別の記法

二項係数にはいくつかの記法があります。

${}_n{C}_k$ を出力するには {}_nC_k と書きます。波括弧で空グループを作ることで位置を調整しています。

一般化二項係数

$n$ が負の数や実数の場合も二項係数を定義できます。

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$$

これは一般化二項定理で使われます。

$$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k(|x|<1)$$

多項係数

3つ以上のものを分ける場合は多項係数を使います。LaTeX では分数で直接書くか、括弧で囲んで縦に並べます。

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,k_3}\right)=\frac{n!}{k_1!k_2!k_3!}$$

\binom{n}{k_1, k_2, k_3}

amsmath パッケージを使っていれば、このように書けます。