LaTeX で極限（lim）を書く方法

微積分で頻出する極限（limit）を LaTeX で書く方法を解説します。

基本の書き方

極限は \lim コマンドで書きます。下付き文字で「何をどこに近づけるか」を指定します。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\to は右矢印 $\to$ を出力するコマンドです。

インライン数式での表示

インライン数式では、添字が横に表示されます。${\lim }_{x\to 0}$ のようになり、少し窮屈に見えることがあります。

横付きの表示を強制したい場合は \nolimits を使います。逆に、インラインでも下に表示したい場合は \limits を使います。

\lim\nolimits_{x \to 0}  % 強制的に横
\lim\limits_{x \to 0}    % 強制的に下

無限大への極限

無限大は \infty で表します。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$$

これはネイピア数 $e$ の定義として有名な式です。

片側極限

右側極限と左側極限は、プラスやマイナスを上付きで書きます。

上極限・下極限

上極限（limsup）と下極限（liminf）には専用のコマンドがあります。

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n,\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n$$

\limsup_{n \to \infty} a_n
\liminf_{n \to \infty} a_n

これらは数列の収束を議論するときによく使います。

多変数の極限

2変数関数の極限では、下付き部分を工夫して書きます。

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$$

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}

複数行にわたる条件を書きたい場合は \substack を使うと便利です。

\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} f(x, y)

これで条件を縦に並べることができます。