LaTeX で床関数と天井関数を書く（lfloor, lceil）

プログラミングや数学でよく使う床関数（floor）と天井関数（ceiling）を LaTeX で書く方法を紹介します。

床関数（floor）

床関数は、実数以下の最大の整数を返す関数です。記号は角括弧の下部分だけを使った形をしています。

$$\lfloor 3.7\rfloor =3,\lfloor -2.3\rfloor =-3$$

\lfloor x \rfloor

\lfloor が左括弧、\rfloor が右括弧です。

天井関数（ceiling）

天井関数は、実数以上の最小の整数を返す関数です。記号は角括弧の上部分だけを使った形です。

$$\lceil 3.2\rceil =4,\lceil -2.7\rceil =-2$$

\lceil x \rceil

\lceil が左括弧、\rceil が右括弧です。

コマンドまとめ

サイズの調整

分数を含む場合は、\left と \right でサイズを自動調整できます。

$$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$$

\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor

手動で調整したい場合は \big 系コマンドも使えます。

$$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$$

ガウス記号との関係

ガウス記号 $[x]$ も床関数と同じ意味で使われることがあります。

$$[x]=\lfloor x\rfloor$$

ただし、現在は $\lfloor x\rfloor$ の記法が主流です。角括弧は他の意味（区間、配列など）と紛らわしいためです。

応用例

二分探索の中央インデックスを求める式です。

$$\text{mid}=\lfloor \frac{\text{left}+\text{right}}{2}\rfloor$$

対数の整数部分を求める式です。

$$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$$

これは $n$ を2進数で表したときのビット数になります。

床関数と天井関数の関係

両者には次のような関係があります。

$$\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor$$

$$\lfloor x\rfloor +\lceil x\rceil =\{\begin{array}{ll}2x& (x\in \mathbb{Z})\\ 2\lfloor x\rfloor +1& (x\notin \mathbb{Z})\end{array}$$

整数のときは床関数と天井関数が一致し、そうでないときは1だけ異なります。