二次不等式の端点は解に入るのか、等号ひとつの違い

端点を答えに入れるかどうかは、その値を代入すれば決まります。

二次不等式の端点は $a x^{2} + b x + c = 0$ の解だから、代入すると左辺は必ず $0$ 。あとは $0$ がその不等式を満たすかどうかを見るだけになります。

$> 0$ や $< 0$ なら $0$ は満たさず、端点は外れる。 $\geq 0$ や $\leq 0$ なら満たすため、端点も答えに入ります。

端点では左辺が $0$ になる

$x^{2} - 5 x + 6$ の端点は $x = 2$ と $x = 3$ 。 $x = 2$ を入れると $4 - 10 + 6 = 0$ 、 $x = 3$ なら $9 - 15 + 6 = 0$ 。

どちらも $0$ になりました。等号のない不等号は $0$ を弾き、等号つきは受け入れる。境界の 2 点は、この 1 か所で運命が分かれます。

不等号	端点	答えの形
$> 0$	外れる	$x < 2, 3 < x$
$\geq 0$	入る	$x \leq 2, 3 \leq x$
$< 0$	外れる	$2 < x < 3$
$\leq 0$	入る	$2 \leq x \leq 3$

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… item.latex …)

グラフでは交点そのものが端点

放物線が $x$ 軸と交わる点が、そのまま端点です。 $> 0$ は「 $x$ 軸より上」で、 $x$ 軸の上に乗っている交点は含まれない。

$\geq 0$ は「 $x$ 軸より上か、 $x$ 軸の上」なら成り立つ形で、交点も入ります。

内側の区間でも同じ話です。 $< 0$ なら $x$ 軸より下だけで、交点は $0$ だから外れる。 $\leq 0$ で初めて交点が加わります。

重解では答えが大きく動く

境界が 1 本しかないとき、等号の有無で答えが極端に変わります。 $(x - 3)^{2}$ で 4 通りを並べます。

平方は $0$ 以上で、 $0$ になるのは $x = 3$ のときだけ。

(x - 3)^{2} > 0

は

x \neq = 3

。

(x - 3)^{2} \geq 0

はすべての実数。

(x - 3)^{2} < 0

は解なし。

(x - 3)^{2} \leq 0

は

x = 3

の 1 点。

$< 0$ と $\leq 0$ のあいだで、解なしと 1 点が入れ替わっています。境界が 2 本あるときは区間の端が動くだけでしたが、1 本になると答えの姿ごと変わる。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… answerList[index].sign …)

$x \neq = 3$ という書き方

$(x - 3)^{2} > 0$ の答えは、区間 2 つに割って $x < 3$ または $x > 3$ とも書けます。ただし $x \neq = 3$ のほうが短く、意味も同じ。

数直線でいえば、1 点をくり抜いた形。区間が切れているのではなく、穴が 1 つ空いています。

端点が無理数でも扱いは同じ

$x^{2} - 4 x + 1 \geq 0$ の端点は $x = 2 \pm 3$ 。値が無理数でも、代入すれば左辺は $0$ になります。

$\geq 0$ だから端点は答えに入る。

$x \leq 2 - 3 または x \geq 2 + 3$

$3$ が $1.7$ あたりで、境界はおよそ $0.3$ と $3.7$ 。近似値は場所の見当をつけるために使い、答えは根号のまま書きます。

係数が $1$ でないときの端点

$4 x^{2} - 4 x - 3 < 0$ は $(2 x - 3) (2 x + 1)$ と分解できます。端点は $2 x - 3 = 0$ から $x = \frac{3}{2}$ 、 $2 x + 1 = 0$ から $x = - \frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3}{2}$ を入れると $4 \times \frac{9}{4} - 6 - 3 = 0$ で、たしかに $0$ になります。 $< 0$ だから端点は外れる。

$- \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

因数のかっこの中の値ではなく、それを $0$ にする $x$ が端点です。

$x^{2} - x - 6 \geq 0$ の解はどれですか。

$x \leq - 2$ または $x \geq 3$
$x < - 2$ または $x > 3$
$- 2 \leq x \leq 3$

__RESULT__

$(x + 2) (x - 3) \geq 0$ で境界は $x = - 2$ と $x = 3$ 。下に凸で $\geq 0$ は外側、等号つきだから端点も入ります。 $x = 3$ を代入すると $9 - 3 - 6 = 0$ で、 $\geq 0$ を満たしている。

連立すると端点が落ちることがある

$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ と $x > 2$ を同時に満たす $x$ を探します。

1 本目の解は $2 \leq x \leq 3$ で、端点の $2$ が入っている。2 本目は $x > 2$ で、 $2$ が入っていません。

重ねると、共通部分から $2$ が落ちます。

$2 < x \leq 3$

左端が白丸、右端が黒丸という、左右で扱いの違う形になりました。連立では、きつい側の条件が残る。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… band.label …)

整数の個数が等号で変わる

$x^{2} - 9 \leq 0$ の解は $- 3 \leq x \leq 3$ で、この中の整数は $- 3$ から $3$ までの 7 個。

$x^{2} - 9 < 0$ なら $- 3 < x < 3$ で、両端が落ちて 5 個になります。等号ひとつで 2 個ぶん変わりました。

整数の個数を数える問題では、端点が整数かどうかを先に見ておく。境界が $\pm 3$ のように整数だと、等号の有無がそのまま個数に効きます。

$(x - 1) (x - 4) < 0$ を満たす整数 $x$ は何個ありますか。

4 個
2 個
3 個

__RESULT__

解は $1 < x < 4$ で、等号がないため $1$ と $4$ は入りません。中に残る整数は $2$ と $3$ の 2 個。 $\leq$ だったら $1$ から $4$ までの 4 個になります。

検算は端点の代入で足りる

答えを書いたら、端点を 1 つ選んで元の不等式に入れます。左辺は必ず $0$ になるため、その $0$ が不等号を満たすかどうかだけを見る。

$x^{2} - x - 6 \geq 0$ の答えを $x \leq - 2$ または $x \geq 3$ としたなら、 $x = 3$ を入れて $0 \geq 0$ 。成り立つため、端点を入れた判断が合っています。

もし $> 0$ の問題で同じことをすると $0 > 0$ になり、成り立たない。そこで端点を外す形に直せます。

端点は $ax^2 + bx + c = 0$ の解なので、代入すると左辺は必ず $0$ になります。あとは $0$ がその不等号を満たすかどうか。$> 0$ と $< 0$ は $0$ を弾いて端点が外れ、$\geq 0$ と $\leq 0$ は受け入れて端点が入る。グラフでは交点そのものが端点で、白丸と黒丸の違いになります。重解のときは $x \neq 3$、すべての実数、解なし、$1$ 点の 4 通りに分かれ、等号ひとつで解なしと $1$ 点が入れ替わる。連立で端点が落ちる場面と、整数の個数が 2 個ぶん変わるところまで。