二次不等式で等号つき（≦, ≧）のときの端点の扱い

二次不等式では、不等号に等号がつくかどうかで解の書き方が変わります。$<$ と $\le$、$>$ と $\ge$ の違いは端点（境界の値）を解に含めるかどうかという一点だけですが、ここを曖昧にすると減点の原因になりやすい部分です。

等号なしと等号ありの違い

$x^2-5x+6<0$ と $x^2-5x+6\le 0$ を比べてみます。左辺を因数分解すると $(x-2)(x-3)=0$ の解は $x=2,3$ です。

グラフで考えると、$y=(x-2)(x-3)$ は下に凸の放物線で、$x=2$ と $x=3$ で $x$ 軸と交わります。$y<0$ となるのは 2 つの交点の間、つまり $2<x<3$ の範囲です。

このように、等号の有無は不等号の記号 1 つの差ですが、解答では不等号を正確に書き分ける必要があります。

端点を含めるかどうかの判断基準

判断の原理はとてもシンプルで、端点の $x$ の値を元の不等式に代入して成り立つかどうかを確認するだけです。$a{x}^2+bx+c=0$ の解が端点になるので、代入すれば左辺は必ず $0$ になります。

つまり、元の不等式の不等号がそのまま解の不等号に反映されるという対応関係があります。

解が 2 つの区間に分かれる場合

$(x-1)(x-4)>0$ のように、解がグラフの外側になるケースを考えます。$y>0$ となるのは $x<1$ または $x>4$ です。

等号つきの $(x-1)(x-4)\ge 0$ では、$x=1$ と $x=4$ で左辺が $0$ になるため、これらも解に含めて $x\le 1$ または $x\ge 4$ と書きます。

重解のときの端点

$x^2-6x+9\le 0$ を考えます。左辺を因数分解すると $(x-3{)}^2\le 0$ です。$(x-3{)}^2$ は平方なので常に $0$ 以上であり、$\le 0$ を満たすのは $(x-3{)}^2=0$、すなわち $x=3$ のときだけです。

重解のケースは等号の有無で結果が大きく変わるため、特に注意が必要です。$(x-3{)}^2<0$ は解なしなのに $(x-3{)}^2\le 0$ は $x=3$ という解をもつ、という違いは等号 1 つの差から生まれています。

解を書くときの不等号の対応

解を記述するときのルールを整理しておきます。

この対応を覚えておけば、解を書く段階で迷うことはありません。端点を含めるか迷ったら、境界の値を代入して不等式が成り立つかを確かめるのが最も確実な方法です。