二次不等式の応用問題 - 範囲に整数解がいくつ含まれるか

二次不等式を解いた後、その範囲に含まれる整数の個数を問う問題は入試でもよく出題されます。不等式を解くこと自体は基本通りですが、そこから整数を数え上げる段階で端点の扱いや数え間違いが起きやすいため、丁寧な処理が求められます。

基本的な考え方

$x^2-5x+4<0$ を満たす整数 $x$ の個数を求めてみます。左辺を因数分解すると $(x-1)(x-4)<0$ で、解は $1<x<4$ です。

この範囲に含まれる整数は $x=2,3$ の 2 個です。端点の $x=1$ と $x=4$ は不等号が $<$（等号なし）なので含まれません。

もし不等式が $x^2-5x+4\le 0$ であれば、解は $1\le x\le 4$ となり、整数は $x=1,2,3,4$ の 4 個に増えます。等号の有無だけで答えが 2 個から 4 個に変わるので、不等号の確認は欠かせません。

整数の個数の数え方

解の範囲がわかったら、その範囲に含まれる整数を列挙します。範囲が狭ければ直接書き出すのが確実ですが、範囲が広いときは公式的に処理できます。

たとえば $1<x<4$ なら $m=2$、$M=3$ で $3-2+1=2$ 個です。$1\le x\le 4$ なら $m=1$、$M=4$ で $4-1+1=4$ 個です。

端点が整数でない場合

$x^2-3x-2<0$ を解いてみます。判別式は $D=9+8=17$ で、解の公式を使うと

$$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$$

$\sqrt{17}\approx 4.12$ なので、$x\approx \frac{3-4.12}{2}\approx -0.56$ と $x\approx \frac{3+4.12}{2}\approx 3.56$ です。解の範囲は

$$\frac{3-\sqrt{17}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{17}}{2}$$

つまりおよそ $-0.56<x<3.56$ です。この範囲に含まれる整数は $x=0,1,2,3$ の 4 個となります。

定数を含む問題

「$x^2-2x-8\le 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど 5 個であるとき」のように、整数解の個数から条件を逆算する問題もあります。まずはそのまま不等式を解きます。

$(x-4)(x+2)\le 0$ より $-2\le x\le 4$ です。含まれる整数は $-2,-1,0,1,2,3,4$ の 7 個で、この場合は条件が固定されているので個数もそのまま確定します。

定数が入るケースでは話が変わります。$x^2-2x-k\le 0$ を満たす整数がちょうど 5 個になるような $k$ の範囲、のような形が典型です。

定数を含む整数解の個数問題

$(x+1)(x-3)<0$ を満たす整数がちょうど 3 個になるのは、$-1<x<3$ で整数 $0,1,2$ を含む場合です。これは定数がないので個数は固定ですが、定数が入ると端点が動きます。

$x^2-2ax+a+2<0$ を満たす整数がちょうど 2 個存在するような正の整数 $a$ を求めてみます。$a=1$ のとき、$x^2-2x+3<0$ は判別式 $D=4-12=-8<0$ で解なしです。$a=2$ のとき、$x^2-4x+4<0$ は $(x-2{)}^2<0$ で解なしです。$a=3$ のとき、$x^2-6x+5<0$ は $(x-1)(x-5)<0$ で $1<x<5$、整数は $2,3,4$ の 3 個です。

このように定数を変化させると解の範囲が伸縮し、含まれる整数の個数が変わります。必要な個数になるように定数の範囲を絞り込むのが問題の核心です。

解が 2 つの区間に分かれるとき

$(x-1)(x-5)>0$ の解は $x<1$ または $x>5$ です。このとき範囲が無限に広がるため、整数の個数は無限個になります。

ただし「$-3<x<10$ かつ $(x-1)(x-5)>0$」のように別の条件で範囲を制限する出題もあります。この場合は $-3<x<1$ と $5<x<10$ の 2 つの区間に分けて、それぞれの整数を数えます。

区間が分離しているときは、各区間ごとに整数を数えて足し合わせれば正しい答えが得られます。

少し別の問題でやり直します。