二次不等式の解に整数がいくつ入るか（入試で問われる数え上げ）

二次不等式を解いて範囲が出たら、あとは数直線に整数を並べて数えるだけです。ここで差がつくのは、端点が整数かどうかと、等号が付いているかどうかの 2 点。

$x^2-5x+4<0$ は $(x-1)(x-4)<0$ より $1<x<4$ で、整数は $2$ と $3$ の 2 個です。等号つきの $\le 0$ なら $1\le x\le 4$ になり、$1$ と $4$ が加わって 4 個に増えます。

記号ひとつで答えが倍になる。数え上げの問題では、解いたあとの読み方が本番です。

上が等号なし、下が等号つきです。橙の点が数える対象で、白丸は範囲から外れた端点。

帯の長さは同じでも、両端に整数が乗っているかどうかで個数が変わります。端点が整数のときだけ、この差が出ます。

端点が整数でなければ等号は効かない

$x^2-3x-2<0$ を解きます。因数分解できないので解の公式を使います。

$$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$$

$\sqrt{17}\approx 4.12$ なので、範囲はおよそ $-0.56<x<3.56$ です。含まれる整数は $0$、$1$、$2$、$3$ の 4 個。

この不等式が $\le 0$ だったとしても、答えは同じ 4 個です。端点の $\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$ が整数ではないので、含めても含めなくても整数の集合は動きません。

端点が整数かどうかを最初に見れば、等号の扱いで悩む時間が省けます。

個数を数える 2 つのやり方

範囲が狭ければ書き出してしまうほうが確実です。$-0.56<x<3.56$ なら $0,1,2,3$ と並べれば終わります。

範囲が広いときは、両端から数えます。範囲に入る最小の整数を $m$、最大の整数を $M$ とすると、個数は $M-m+1$ 個。

$1\le x\le 4$ なら $m=1$、$M=4$ で $4-1+1=4$ 個です。$1<x<4$ なら $m=2$、$M=3$ で $3-2+1=2$ 個。

$m$ が $M$ より大きくなったら、その範囲に整数はありません。$2<x<3$ なら $m=3$、$M=2$ で個数は $0$ 個です。

$+1$ を落として $M-m$ と書く誤りが多い形です。$1$ から $4$ までは $4-1=3$ 個ではなく 4 個、と両端を指で数えれば防げます。

例：解の公式から数える

$x^2-4x-1<0$ を解きます。$D=16+4=20$ なので、解は次のとおりです。

$$x=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}=2\pm \sqrt{5}$$

$\sqrt{5}\approx 2.24$ なので、範囲はおよそ $-0.24<x<4.24$ です。含まれる整数は $0,1,2,3,4$ の 5 個。

近似値は数えるためだけに使います。答えとして範囲を書くときは $2-\sqrt{5}<x<2+\sqrt{5}$ のまま残します。

平方根の見積もりを誤ると個数がずれます。$\sqrt{5}$ は $2.2$ と $2.3$ の間、と押さえておけば $-0.3<x<4.3$ の幅で判断でき、整数の集合は変わりません。

例：範囲が 2 つに分かれるとき

$(x-1)(x-5)>0$ の解は $x<1$ または $x>5$ で、どちらも無限に伸びます。整数は無数にある。

範囲を限る条件が付くと数え上げになります。$-3<x<10$ かつ $(x-1)(x-5)>0$ を満たす整数を数えます。

2 つの区間に分けて考えます。

区間が離れているときは、それぞれで数えて足します。重なりがないので、引き算は要りません。

負の側では $-3$ と $-2$ の大小をとり違えやすいところです。数直線を左から右へ書き、$-3$ の右隣が $-2$ であることを目で確かめます。

定数が入ると区間が伸び縮みする

ここからが本題です。定数を含む不等式では、定数の値によって区間の端が動き、含まれる整数の個数が変わります。

$(x-1)(x-a)<0$ を $a>1$ の下で考えます。解は $1<x<a$ で、右端だけが $a$ とともに動く。

右端が右へ動くにつれて、橙の点が 2 個、3 個、4 個と増えていきます。増えるのは端が整数をまたいだ瞬間だけ。

$a$ が $4$ を越えた瞬間に $4$ が入り、$5$ を越えた瞬間に $5$ が入ります。個数は連続には変わらず、整数の位置で飛びます。

ちょうど 3 個になる $a$ の範囲

$1<x<a$ に整数がちょうど 3 個入る条件を求めます。$1$ より大きい整数は $2$ から順に並ぶので、入るべきは $2,3,4$ です。

$4$ が入るには $a>4$ が要ります。$5$ が入ってはいけないので $a\le 5$。

$$4<a\le 5$$

$a=5$ を確かめます。範囲は $1<x<5$ で、$5$ は端点なので含まれません。整数は $2,3,4$ の 3 個で条件を満たします。

$a=4$ も確かめます。範囲は $1<x<4$ で整数は $2,3$ の 2 個。足りないので範囲から外れており、$a>4$ という厳しい不等号が正しい。

境目の 2 つの値を必ず試す。これで等号の付け方はその場で決まります。

等号の向きは端点の含み方で決まる

さきほどの $a\le 5$ に等号が付いたのは、右端が開いていたからです。$x<a$ なので $x=a$ は範囲に入らず、$a$ が $5$ ちょうどでも $5$ は数えられません。

もし解が $1<x\le a$ だったら話が変わります。$a=5$ のとき $5$ が数に入ってしまうので、条件は $4\le a<5$ になる。

不等号の開き閉じが、そのまま定数の範囲の開き閉じに移ります。もとの不等式に $\le$ があるかどうかを、最後にもう一度見ます。

例：区間の幅が固定されている場合

$x^2-2ax+a^2-1\le 0$ を解きます。左辺は $(x-a{)}^2-1$ と変形できます。

$$(x-a{)}^2\le 1$$

$|x-a|\le 1$ なので $a-1\le x\le a+1$ です。幅が $2$ の閉区間が、$a$ とともに平行移動する形になります。

$a$ が整数なら、$a-1$、$a$、$a+1$ の 3 個が入ります。両端がちょうど整数に乗るためです。

$a$ が整数でなければ 2 個です。幅 $2$ の区間の中に整数は 2 個しか置けず、端にも乗りません。

例：両端が同時に動く場合

$x^2-2x-k\le 0$ を満たす整数がちょうど 5 個になる $k$ の範囲を求めます。

左辺を平方完成すると $(x-1{)}^2-1-k$ です。$k>-1$ のとき解は次のようになります。

$$1-\sqrt{1+k}\le x\le 1+\sqrt{1+k}$$

$x=1$ を中心に、左右へ同じ幅だけ広がる区間です。$\sqrt{1+k}$ を $r$ とおくと、範囲は $1-r\le x\le 1+r$。

$1$ を中心に整数を並べると $1$、$0$ と $2$、$-1$ と $3$、$-2$ と $4$ の順に入ります。ちょうど 5 個なら $-1$ から $3$ までです。

$3$ が入るには $r\ge 2$、$4$ が入らないためには $r<3$。したがって $2\le r<3$ です。

$$2\le \sqrt{1+k}<3,4\le 1+k<9,3\le k<8$$

$k=3$ なら $r=2$ で範囲は $-1\le x\le 3$、整数は 5 個です。$k=8$ なら $r=3$ で範囲は $-2\le x\le 4$、整数は 7 個に増えます。だから $8$ は範囲に入りません。

対称な区間では個数が 2 個ずつ飛びます。5 個の次は 7 個で、6 個になる $k$ はありません。

個数が飛ぶ場所を先に押さえる

定数を含む問題では、個数が変わる瞬間の値をまず書き出すと見通しが立ちます。区間の端が整数に乗る値が、その候補です。

$1<x<a$ なら $a=2,3,4,5,\dots$ が候補。$1-r\le x\le 1+r$ なら $r=1,2,3,\dots$ が候補になります。

候補と候補の間では個数が動きません。だから範囲を答えるときは、隣り合う 2 つの候補ではさむ形になります。

よくある誤り

参考文献