偶関数・奇関数の定積分の性質 - 高校数学Ⅱ

被積分関数が偶関数か奇関数かによって、対称区間 $[-a,a]$ での定積分を簡単に処理できる性質があります。奇関数なら積分値は即座に 0、偶関数なら片側の 2 倍で済みます。計算量を大幅に減らせる場面が多いので、しっかり使いこなせるようになっておく価値があります。

偶関数と奇関数の復習

まず定義を確認しておきます。

たとえば $x^2$、$x^4$ のように偶数次のべき乗は偶関数、$x$、$x^3$、$x^5$ のように奇数次のべき乗は奇関数です。定数関数も $f(-x)=f(x)$ を満たすので偶関数に分類されます。

奇関数の定積分：値は 0

奇関数 $f(x)$ を対称区間 $[-a,a]$ で積分すると、結果は必ず 0 になります。

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0(f(x)\text{ が奇関数のとき})$$

グラフで考えるとわかりやすいです。奇関数は原点対称なので、$x>0$ 側で $x$ 軸の上にある部分と、$x<0$ 側で $x$ 軸の下にある部分がちょうど鏡合わせの関係になります。上側の面積（正）と下側の面積（負）が完全に打ち消し合うため、積分値は 0 です。

奇関数の性質の証明

区間を分割して確認します。

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_{-a}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx$$

左側の積分 ${\int }_{-a}^{0}f(x)dx$ で $x=-t$ と置換します。$dx=-dt$ で、$x:-a\to 0$ のとき $t:a\to 0$ なので、

$${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_a^{0}f(-t)(-dt)={\int }_0^{a}f(-t)dt$$

$f(x)$ が奇関数なので $f(-t)=-f(t)$ を代入すると、

$$={\int }_0^a\{-f(t)\}dt=-{\int }_0^{a}f(t)dt$$

よって、

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=-{\int }_0^{a}f(t)dt+{\int }_0^{a}f(x)dx=0$$

となります。積分変数が $t$ でも $x$ でも値は同じなので、きれいに打ち消し合います。

偶関数の定積分：片側の 2 倍

偶関数 $f(x)$ を対称区間 $[-a,a]$ で積分すると、$[0,a]$ での積分の 2 倍になります。

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx(f(x)\text{ が偶関数のとき})$$

偶関数は $y$ 軸対称なので、左半分と右半分の面積がまったく同じです。片側だけ計算して 2 倍すれば全体の面積が得られます。

証明は奇関数のときと同じ流れです。${\int }_{-a}^{0}f(x)dx$ で $x=-t$ と置換し、$f(-t)=f(t)$（偶関数の定義）を使うと、

$${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_0^{a}f(t)dt$$

となるので、

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(t)dt+{\int }_0^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$

が得られます。

計算例 1：奇関数

${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx$ を計算します。$f(x)=x^3$ は奇関数（$(-x{)}^3=-x^3$）なので、

$${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx=0$$

一切の計算なしに答えが出ます。もちろん愚直に計算しても、

$${\left[\frac{x^4}{4}\right]}_{-2}^2=\frac{16}{4}-\frac{16}{4}=0$$

と確かに 0 ですが、奇関数の性質を知っていれば即答できます。

計算例 2：偶関数

${\int }_{-1}^1(3x^2+1)dx$ を計算します。$f(x)=3x^2+1$ は偶関数です。$3(-x{)}^2+1=3x^2+1$ なので $f(-x)=f(x)$ が成り立ちます。

$${\int }_{-1}^1(3x^2+1)dx=2{\int }_0^1(3x^2+1)dx=2{\left[x^3+x\right]}_0^1=2(1+1)=4$$

片側だけの計算で済むので、特に被積分関数が複雑なときほど効果が大きくなります。

計算例 3：偶関数と奇関数の混合

${\int }_{-2}^2(x^4-3x^3+2x^2+x)dx$ のように、偶関数の項と奇関数の項が混ざっている場合を考えます。

項ごとに分類すると、$x^4$ と $2x^2$ は偶関数、$-3x^3$ と $x$ は奇関数です。対称区間 $[-2,2]$ では奇関数の項の積分は 0 になるので、

$${\int }_{-2}^2(x^4-3x^3+2x^2+x)dx={\int }_{-2}^2(x^4+2x^2)dx$$

さらに偶関数の性質を使って、

$$=2{\int }_0^2(x^4+2x^2)dx=2{\left[\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}\right]}_0^2=2\left(\frac{32}{5}+\frac{16}{3}\right)=2\cdot \frac{96+80}{15}=\frac{352}{15}$$

奇関数の項を無視してよいぶん、計算がかなり楽になっています。

使うための条件

この性質が使えるのは、積分区間が原点について対称な $[-a,a]$ のときだけです。$[0,3]$ や $[1,5]$ のような区間では、たとえ被積分関数が奇関数であっても積分値は 0 にはなりません。問題を見たときに「区間が対称かどうか」をまず確認する癖をつけておくと、この性質を見逃さずに活用できます。