素イデアル分解の一意性とデデキント整域｜代数的整数論

整数の世界では、任意の正整数が素数の積として一意的に（順序を除いて）表せるという算術の基本定理が成り立ちます。代数的整数論において、この定理のイデアル版にあたるのがデデキント整域における素イデアル分解の一意性です。数体の整数環では元の一意分解が一般には成立しませんが、イデアルのレベルに持ち上げると一意分解が回復します。

一意分解が破れる例

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ における古典的な例を見ます。

$$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$

$2$, $3$, $1+\sqrt{-5}$, $1-\sqrt{-5}$ はいずれも $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の既約元ですが、互いに単元倍の関係にはありません。ノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ を使って確認すると、$N(2)=4$, $N(3)=9$, $N(1\pm \sqrt{-5})=6$ であり、これらの間に単元倍の関係が成り立たないことがわかります（$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の単元は $\pm 1$ のみ）。

したがって $6$ は 2 通りの本質的に異なる既約元分解をもち、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は一意分解整域（UFD）ではありません。

イデアルによる救済

同じ $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ において、イデアルの言葉で書き直すと状況は一変します。次のイデアルを定義します。

$${\mathfrak{p}}_2=(2,1+\sqrt{-5}),{\mathfrak{p}}_3=(3,1+\sqrt{-5}),\overline{{\mathfrak{p}}_3}=(3,1-\sqrt{-5})$$

すると、

$$(2)={\mathfrak{p}}_2^2,(3)={\mathfrak{p}}_3\overline{{\mathfrak{p}}_3},(6)={\mathfrak{p}}_2^2{\mathfrak{p}}_3\overline{{\mathfrak{p}}_3}$$

が成り立ちます。元のレベルでは $6=2\cdot 3$ と $6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ の 2 通りに分解されていたものが、イデアルのレベルでは ${\mathfrak{p}}_2^2{\mathfrak{p}}_3\overline{{\mathfrak{p}}_3}$ という唯一の素イデアル分解に統合されます。

デデキント整域の定義

素イデアル分解の一意性が成り立つ環のクラスがデデキント整域です。整域 $R$ がデデキント整域（Dedekind domain）であるとは、次の 3 条件を同時に満たすことです。

$$\text{(1) }R\text{ はネーター環である}$$

$$\text{(2) }R\text{ は整閉整域である}$$

$$\text{(3) }R\text{ のすべての非零素イデアルは極大イデアルである}$$

条件 (1) はイデアルの昇鎖条件（すべてのイデアルの昇鎖が停止する）を意味します。条件 (2) は $R$ がその商体の中で整閉であること、すなわち商体の元で $R$ 上整であるものはすべて $R$ に含まれることです。条件 (3) は $R$ のクルル次元が 1 以下であることに相当します。

数体 $K$ の整数環 ${\mathcal{O}}_K$ はこの 3 条件をすべて満たします。(1) は ${\mathcal{O}}_K$ が $\mathbb{Z}$ 上有限生成な加群であることから従い、(2) は整数環の定義そのもの、(3) は ${\mathcal{O}}_K$ の非零素イデアルが有限指数をもつことから従います。

分数イデアルと逆イデアル

素イデアル分解の一意性を述べるには、イデアルの「逆」が必要です。$R$ をデデキント整域、$K$ をその商体とします。$R$ の分数イデアル（fractional ideal）とは、$K$ の部分 $R$ 加群 $\mathfrak{a}$ であって、ある $d\in R\setminus \{0\}$ が存在して $d\mathfrak{a}\subset R$ を満たすものです。通常のイデアル（$R$ に含まれるもの）は整イデアル（integral ideal）と呼ばれ、分数イデアルの特殊な場合です。

非零分数イデアル $\mathfrak{a}$ に対して、

$${\mathfrak{a}}^{-1}=\{x\in K\mid x\mathfrak{a}\subset R\}$$

と定義すると、デデキント整域では $\mathfrak{a}\cdot {\mathfrak{a}}^{-1}=R$ が成り立ちます。この事実は自明ではなく、証明にはデデキント整域の 3 条件すべてが本質的に使われます。

非零分数イデアル全体は積に関して群をなし、これをイデアル群 $I_K$ と呼びます。単項分数イデアル $(\alpha )=\alpha R$（$\alpha \in K^{\times }$）全体は $I_K$ の部分群をなし、商群 $I_K/P_K$（$P_K$ は単項イデアルの群）がイデアル類群（class group）です。

素イデアル分解の一意性の証明

デデキント整域における中心定理を述べます。

$R$ をデデキント整域とする。$R$ の任意の非零整イデアル $\mathfrak{a}$ は、素イデアルの積として

$$\mathfrak{a}={\mathfrak{p}}_1^{e_1}{\mathfrak{p}}_2^{e_2}\cdots {\mathfrak{p}}_r^{e_r}$$

と表すことができ、この表示は素イデアルの順序を除いて一意的です。

証明は存在と一意性の 2 段階に分かれます。

存在の証明

ネーター環において、すべてのイデアルは有限生成です。この性質を利用して帰納的に議論します。

非零整イデアル $\mathfrak{a}$ が素イデアルの積で書けないと仮定し、$\mathfrak{a}$ をそのようなイデアルの中で極大なもの（ネーター性により存在する）とします。$\mathfrak{a}$ 自身は素イデアルではないので、$\mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}$ なる素イデアル $\mathfrak{p}$ が存在します。

ここで ${\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}$ を考えます。$\mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}$ より ${\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}\subset {\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{p}=R$ なので ${\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}$ は整イデアルです。また $R\subset {\mathfrak{p}}^{-1}$（${\mathfrak{p}}^{-1}$ の定義から $1\in {\mathfrak{p}}^{-1}$）より $\mathfrak{a}\subset {\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}$ が成り立ちます。

$\mathfrak{a}={\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}$ と仮定すると $\mathfrak{pa}=\mathfrak{a}$ となりますが、これは中山の補題に矛盾します（$\mathfrak{a}$ は有限生成で $\mathfrak{p}$ は極大イデアル）。したがって $\mathfrak{a}⊊{\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}$ であり、${\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}$ は $\mathfrak{a}$ を真に含みます。

$\mathfrak{a}$ の極大性より ${\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}$ は素イデアルの積 ${\mathfrak{p}}^{-1}\mathfrak{a}={\mathfrak{q}}_1\cdots {\mathfrak{q}}_s$ と書けて、$\mathfrak{a}=\mathfrak{p}{\mathfrak{q}}_1\cdots {\mathfrak{q}}_s$ が得られます。これは $\mathfrak{a}$ が素イデアルの積で書けないという仮定に矛盾し、存在が示されます。

一意性の証明

一意性は逆イデアルの存在と素イデアルの性質から従います。

$${\mathfrak{p}}_1^{e_1}\cdots {\mathfrak{p}}_r^{e_r}={\mathfrak{q}}_1^{f_1}\cdots {\mathfrak{q}}_s^{f_s}$$

と 2 通りの素イデアル分解があったとします。${\mathfrak{p}}_1$ は左辺を含むので右辺も含みます。素イデアルの性質から、${\mathfrak{p}}_1\supset {\mathfrak{q}}_j^{f_j}$ となる $j$ が存在し、${\mathfrak{p}}_1\supset {\mathfrak{q}}_j$ が従います。デデキント整域では非零素イデアルは極大なので ${\mathfrak{p}}_1={\mathfrak{q}}_j$ です。

両辺に ${\mathfrak{p}}_1^{-1}$ を掛けて ${\mathfrak{p}}_1$ の冪を 1 つ下げ、この操作を繰り返すと、最終的に $R=R$ に到達し、すべての素イデアルと指数が一致することがわかります。

整数との対比

素イデアル分解の一意性は算術の基本定理の自然な一般化になっています。

$\mathbb{Z}$ は PID（単項イデアル整域）なのですべてのイデアルが単項であり、イデアルの分解と元の分解が一致します。一般の ${\mathcal{O}}_K$ では単項でないイデアルが存在しうるため、元の一意分解は成り立たなくても、イデアルの一意分解は常に保証されるという構図です。

デデキント整域の同値条件

デデキント整域には多くの同値な特徴づけが知られています。$R$ をネーターな整域で、クルル次元が 1 以下であるものとすると、次の条件は同値です。

最後の条件は「デデキント整域とは、すべての場所で離散付値環になっている環である」という局所的な特徴づけを与えます。付値論との接続が見える条件であり、局所大域的な視点の出発点でもあります。

これらの同値性の証明は Neukirch の Algebraic Number Theory の第 I 章や Atiyah–Macdonald の Introduction to Commutative Algebra の第 9 章で扱われています。