2つの曲線にはさまれた領域の面積を求める - 高校数学Ⅱ

1 つの曲線と $x$ 軸にはさまれた面積は定積分で求められますが、2 つの曲線にはさまれた領域の面積も同じ考え方で計算できます。「上の曲線から下の曲線を引いて積分する」という手順が基本です。

2 曲線間の面積の公式

区間 $[a, b]$ で常に $f (x) \geq g (x)$ が成り立つとき、 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ にはさまれた領域の面積 $S$ は次の式で求まります。

$S = \int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} d x$

$f (x) - g (x)$ は 2 つの曲線の縦方向の距離を表しており、それを $a$ から $b$ まで積み上げたものが面積になります。

1 曲線と

x

軸の面積

$x$ 軸は $y = 0$ なので $\int_{a}^{b} f (x) d x$ で計算する

2 曲線間の面積

$x$ 軸の代わりに $y = g (x)$ が下側の境界になるので $\int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} d x$ で計算する

実は 1 曲線と $x$ 軸の場合は、 $g (x) = 0$ とした特殊ケースにすぎません。2 曲線間の公式のほうがより一般的な形です。

なぜ「上から下を引く」のか

面積は常に正の値です。区間 $[a, b]$ で $f (x) \geq g (x)$ のとき、 $f (x) - g (x) \geq 0$ が保証されるので、積分結果は自動的に正になります。もし上下を逆にして $g (x) - f (x)$ を積分すると、値が負になってしまいます。「上の関数 $-$ 下の関数」の順番を間違えないことが大切です。

計算の手順

2 曲線間の面積を求める手順は、次の流れで進めます。

2 つの曲線の交点を求める（連立方程式を解く）

区間内でどちらが上にあるか判定する

「上 $-$ 下」を積分して面積を求める

交点の $x$ 座標が積分区間の端点になり、上下の判定で被積分関数の符号が決まります。

計算例 1：放物線と直線

$y = x^{2}$ と $y = 2 x$ にはさまれた面積を求めます。

まず交点を求めます。 $x^{2} = 2 x$ を整理すると $x^{2} - 2 x = 0$ 、つまり $x (x - 2) = 0$ なので $x = 0, 2$ です。

次に区間 $[0, 2]$ でどちらが上にあるかを確認します。たとえば $x = 1$ を代入すると $y = x^{2}$ は $1$ 、 $y = 2 x$ は $2$ なので、 $2 x \geq x^{2}$ です。直線のほうが上にあります。

したがって面積は、

$S = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{4}{3}$

この $y = x^{2}$ と $y = 2 x$ で囲まれた面積 $\frac{4}{3}$ は、実は 1/6 公式を使っても同じ結果になります。

$\frac{1}{6} (b - a)^{3}$ に $a = 0$ 、 $b = 2$ を代入すると $\frac{1}{6} \cdot 8 = \frac{4}{3}$ で一致する。

計算例 2：2 つの放物線

$y = x^{2}$ と $y = - x^{2} + 4 x$ にはさまれた面積を求めます。

交点は $x^{2} = - x^{2} + 4 x$ から $2 x^{2} - 4 x = 0$ 、 $2 x (x - 2) = 0$ なので $x = 0, 2$ です。

$x = 1$ を代入して上下を判定します。 $x^{2} = 1$ 、 $- x^{2} + 4 x = 3$ なので、 $- x^{2} + 4 x$ のほうが上です。

$S = \int_{0}^{2} {(- x^{2} + 4 x) - x^{2}} d x = \int_{0}^{2} (- 2 x^{2} + 4 x) d x$

$= [- \frac{2 x ^{3}}{3} + 2 x^{2}]_{0}^{2} = - \frac{16}{3} + 8 = \frac{8}{3}$

面積は $\frac{8}{3}$ です。

上下が入れ替わる場合

区間の途中で 2 曲線の上下が入れ替わることがあります。その場合は、交点で区間を分割し、それぞれの区間で「上 $-$ 下」を正しく設定して積分します。

$y = x^{2} - 1$ と $y = - x^{2} + 1$ にはさまれた面積を考えます。交点は $x^{2} - 1 = - x^{2} + 1$ から $2 x^{2} = 2$ 、 $x = \pm 1$ です。

区間 $[- 1, 1]$ で $x = 0$ を代入すると、 $x^{2} - 1 = - 1$ 、 $- x^{2} + 1 = 1$ なので $- x^{2} + 1$ が上です。この区間では上下の入れ替わりはありません。

$S = \int_{- 1}^{1} {(- x^{2} + 1) - (x^{2} - 1)} d x = \int_{- 1}^{1} (- 2 x^{2} + 2) d x$

$= [- \frac{2 x ^{3}}{3} + 2 x]_{- 1}^{1} = (- \frac{2}{3} + 2) - (\frac{2}{3} - 2) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

もし上下が途中で入れ替わるケースでは、交点ごとに区間を区切って計算し、各区間の面積を足し合わせます。定積分の区間分割の性質がここでも活きてきます。

上下が変わらない場合

交点で決まる区間全体で 1 回積分すれば済む。

上下が入れ替わる場合

入れ替わる点で区間を分割し、各区間で上下を正しく判定してそれぞれ積分する。最後に足し合わせる。

絶対値を使った書き方

上下の判定が面倒なとき、絶対値を使って次のように書くこともできます。

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$

$∣ f (x) - g (x) ∣$ は 2 曲線の距離そのものなので、上下の判定を省略できます。ただし実際に計算するときは、結局絶対値を外すために場合分けが必要になるので、手間が減るわけではありません。答案に方針を示すときの表現として便利です。

$y = x^{2}$ と $y = x + 2$ にはさまれた面積を求めるとき、最初にすべきことは何ですか？

とりあえず $\int_{0}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x$ を計算する
$x^{2} = x + 2$ を解いて交点の $x$ 座標を求める
$x = 0$ を代入してどちらが上か調べる
両方の関数を微分する

__RESULT__

交点の $x$ 座標が積分区間の端点になるため、まず連立方程式 $x^{2} = x + 2$ を解きます。 $x^{2} - x - 2 = 0$ から $(x - 2) (x + 1) = 0$ で $x = - 1, 2$ が得られます。区間 $[- 1, 2]$ で上下を判定し、 $\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = \frac{9}{2}$ が面積です。