定積分の区間を分割・結合する性質 - 高校数学Ⅱ

定積分には、積分区間を途中で分割したり、逆に 2 つの区間を 1 つにまとめたりできる性質があります。この性質は面積の計算で自然に使われるほか、絶対値を含む関数の積分など、区間ごとに式が変わる場面で欠かせません。

区間の分割公式

$a<c<b$ のとき、次の等式が成り立ちます。

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

区間 $[a,b]$ での積分は、途中の点 $c$ で 2 つに分けてそれぞれ積分した結果を足し合わせたものと一致する、という意味です。

なぜ成り立つのか

$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数とします。定積分の定義から、右辺を計算すると、

$${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}$$

ここで $F(c)$ が打ち消し合い、

$$=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

となります。途中の $F(c)$ が消えるという構造がこの公式の本質です。

どちらも同じ値になるので、計算しやすい方を選べます。

面積のイメージ

$f(x)\ge 0$ の場合、定積分は曲線と $x$ 軸にはさまれた領域の面積を表します。区間 $[a,b]$ の面積を $x=c$ の位置で縦に切ると、左側の面積と右側の面積に分かれます。それぞれが ${\int }_a^{c}f(x)dx$ と ${\int }_c^{b}f(x)dx$ に対応しており、2 つを足せば全体の面積に戻ります。面積を切って足すという直感的な操作が、そのまま数式に反映されています。

3 つ以上への分割

分割は 2 つに限りません。$a<c_1<c_2<b$ のとき、

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c_1}f(x)dx+{\int }_{c_1}^{c_2}f(x)dx+{\int }_{c_2}^{b}f(x)dx$$

のように 3 つ以上に分割することもできます。2 分割の公式を繰り返し適用するだけなので、特別な証明は不要です。

計算例：区間の分割

${\int }_1^{5}2xdx$ を $x=3$ で分割して確認してみます。

どちらも 24 になり、分割公式が確かに成り立っていることがわかります。

実践的な使い方：場合分けが必要な関数

区間の分割が本当に役立つのは、区間の途中で関数の式が変わる場合です。典型的なのは絶対値を含む関数の積分で、絶対値の中身が 0 になる点で区間を分割します。

${\int }_0^3|x-1|dx$ を考えます。$x-1=0$ となるのは $x=1$ なので、ここで区間を分割します。

$$|x-1|=\{\begin{array}{ll}-(x-1)=-x+1& (0\le x<1)\\ x-1& (1\le x\le 3)\end{array}$$

区間の分割公式を使うと、

$${\int }_0^3|x-1|dx={\int }_0^1(-x+1)dx+{\int }_1^3(x-1)dx$$

それぞれ計算します。

$${\int }_0^1(-x+1)dx={\left[-\frac{x^2}{2}+x\right]}_0^1=\left(-\frac{1}{2}+1\right)-0=\frac{1}{2}$$

$${\int }_1^3(x-1)dx={\left[\frac{x^2}{2}-x\right]}_1^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$$

よって ${\int }_0^3|x-1|dx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$ です。

区間の結合

分割の逆方向、つまり 2 つの積分を 1 つにまとめることも同じ公式でできます。

$${\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx={\int }_0^{5}f(x)dx$$

2 つの積分の「つなぎ目」が一致していれば（上の例では $x=2$）、1 つの積分にまとめられます。式の見通しがよくなる場面で活用できます。