e^x を微分しても e^x のままになる仕組みと log x の微分公式

微分しても形が変わらない関数があります。$y=e^x$ がそれで、何回微分しても $e^x$ のまま。

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

底が $e$ でなければ、この気持ちよさは失われます。$y=2^x$ を微分すると $2^x\log 2$ となり、$0.693\dots$ という半端な数が前に付く。

底 $a$ を動かすと、点 $(0,1)$ での接線が寝たり立ったりします。傾きがちょうど $1$ になる底、それが $e$ です。

傾きが 1 になる底を選んだ

$y=a^x$ の $x=0$ における微分係数は、次の極限そのものです^[1]。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}$$

$a$ を大きくすればこの値も大きくなり、小さくすれば小さくなる。途中でちょうど $1$ を通過する底があり、その底を $e$ と名づけました。

$e$ は $2.718281828459\dots$ と続く無理数です^[2]。桁を覚える必要はありませんが、$2.7$ 台という感覚は持っておくと検算に効く。

$e$ の定義

高校では次の極限で $e$ を定めます。

$$e=\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{1/h}$$

$h=\frac{1}{n}$ と置き直すと、階段状に近づけていく形になります^[2]。

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

$n=10$ で $2.5937\dots$、$n=1000$ で $2.7169\dots$。近づき方はゆっくりです。

$e^x$ の微分を定義から求める

差の商を作ると、$e^x$ がそっくり外へ出ます。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}$$

残った極限が $1$ なので、答えは $e^x$ そのもの。$e$ の決め方が、この $1$ を用意していました。

極限の値は置きかえで確かめられます。$e^h-1=t$ とおくと $h=\log (1+t)$ で、$h\to 0$ のとき $t\to 0$。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\log (1+t)}=\frac{1}{\log e}=1$$

$\log x$ の微分を定義から求める

対数のほうも同じ手順です。$x>0$ とし、差を商の対数にまとめます。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\log \frac{x+h}{x}$$

$\frac{h}{x}=t$ と置きかえると $h=xt$ になり、$\frac{1}{x}$ が外へ出ます。

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\log (1+t)}{t}=\frac{1}{x}$$

$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ です^[3]。べきの公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ では $\frac{1}{x}$ を作れないので、対数はその穴を埋める位置にいます。

$2$ つのグラフは直線 $y=x$ について対称です。$e^x$ の上の点 $(1,e)$ を折り返すと、$\log x$ の上の点 $(e,1)$ に重なる。

逆関数として対をなす

対称なグラフでは、接線の傾きが逆数の関係になります。$(1,e)$ での傾きが $e$、折り返した $(e,1)$ での傾きが $\frac{1}{e}$。

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

$y=e^x$ なら $\frac{dy}{dx}=e^x=y$ です。逆関数 $x=\log y$ については $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}$ となり、$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ と一致する。

微分して姿が消えるのは対数だけです。積分の側から見れば、$\frac{1}{x}$ の原始関数が $\log |x|$ という対応になる。

底が $e$ でないとき

一般の底では、$\log a$ が係数として顔を出します^[1]。

$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a,({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log a}$$

$a^x=e^{x\log a}$ と書き直せば、合成関数の微分から前者が出ます。内側の微分が $\log a$ だからです。

$a=e$ とすれば $\log e=1$ となり、係数が消えます。$e$ を底に選ぶ理由は、この $1$ にあります。

例：$e^{3x}$ と $e^{x^2}$ を微分する

指数の肩に式が入ると合成関数です。$u=3x$ なら内側の微分は $3$。

$$(e^{3x}{)}^{\prime }=3e^{3x},(e^{x^2}{)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$$

一般形は $(e^{f(x)}{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)e^{f(x)}$ です。肩の式を微分して前に置くだけ。

例：$\log (x^2+1)$ を微分する

対数の中身が式のときも合成の形になります。$u=x^2+1$ の微分は $2x$。

$$\{\log (x^2+1){\}}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$$

一般形は $\{\log f(x){\}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ で、もとの関数を分母に置く形。この形が対数微分法の土台になります。

$\log |x|$ の微分

$x<0$ では $\log x$ が定義されませんが、絶対値を付ければ $x\ne 0$ で定義できます。

$x>0$ なら $\log |x|=\log x$ なので $\frac{1}{x}$。$x<0$ なら $\log |x|=\log (-x)$ となり、合成の公式から次のようになります。

$$\{\log (-x){\}}^{\prime }=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$$

どちらの側でも同じ結果です。$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$ で絶対値が付く理由も、ここにあります。

対数微分法

両辺の対数をとってから微分すると、指数に変数が入った関数も扱えます^[1]。積や商が並ぶ式にも効く手です。

$y=x^x$（$x>0$）で試します。両辺の対数は $\log y=x\log x$。

左辺を $x$ で微分すると $\frac{y^{\prime }}{y}$、右辺は積の公式から $\log x+1$ になります。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\log x+1,y^{\prime }=x^x(\log x+1)$$

$x^x$ はべきの公式でも指数関数の公式でも直接は微分できません。底と肩の両方に $x$ がいるためです。

例：$x^{\sin x}$ を微分する

同じ手順をもう一度なぞります。$\log y=\sin x\log x$ から始めます。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}$$

両辺に $y=x^{\sin x}$ を掛ければ完成です。

$$y^{\prime }=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right)$$

押さえておく 2 つの極限

導出の途中で使った極限は、単独でも出題されます。

公式から極限を読む向きと、極限から公式を導く向き。どちらの筋道もたどれるようにしておくと、形を変えて問われても迷いません。

参考文献