e^x と log x の微分公式｜高校数学Ⅲ

数学Ⅲでは指数関数 $e^x$ と対数関数 $\log x$ の微分が登場する。どちらもネイピア数 $e$ と深く結びついており、$e$ が微分においてなぜ特別な数なのかを理解することが重要になる。

$e$ の定義

ネイピア数 $e$ は次の極限で定義される。

$$e=\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{1/h}$$

$h=\frac{1}{n}$ と置き換えれば、

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

とも書ける。$e$ の値は $e=2.71828\dots$ であり、無理数かつ超越数だ。この数が微分で特別な役割を果たす理由は、$e^x$ の微分公式に直接現れる。

$e^x$ の微分

$f(x)=e^x$ の導関数を定義から求める。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}$$

ここで $e^h-1=t$ とおくと $h=\log (1+t)$ であり、$h\to 0$ のとき $t\to 0$ なので、

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\log (1+t)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{1}{t}\log (1+t)}=\frac{1}{\log e}=1$$

よって、

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

微分しても自分自身に戻るという性質は $e^x$ だけが持つもので、これが $e$ という数の本質的な特徴である。

$\log x$ の微分

$f(x)=\log x$（$x>0$）の導関数を定義から求める。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\log (x+h)-\log x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\log \frac{x+h}{x}$$

$\frac{h}{x}=t$ とおくと $h=xt$ であり、$h\to 0$ のとき $t\to 0$ なので、

$$f^{\prime }(x)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{xt}\log (1+t)=\frac{1}{x}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\log (1+t)}{t}$$

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\log (1+t)}{t}=\log e=1$ であるから、

$$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

$x$ のべき乗の微分公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ では $n=0$ のとき定数、$n=-1$ のとき $x^{-1}=\frac{1}{x}$ が得られるが、$\frac{1}{x}$ の原始関数が $\log x$ であるという事実は、対数関数が微分体系の中で埋めている独自の位置を示している。

$e^x$ と $\log x$ の関係

$e^x$ と $\log x$ は互いに逆関数の関係にある。$y=e^x$ ならば $x=\log y$ であり、グラフは直線 $y=x$ に関して対称だ。

微分の観点からも両者は対をなしている。

逆関数の微分公式 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ からもこの関係は確認できる。$y=e^x$ のとき $\frac{dy}{dx}=e^x=y$ なので、逆関数 $x=\log y$ について $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}$ となり、$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ と一致する。

合成関数と組み合わせた例

実際の計算では $e^x$ や $\log x$ が単独で現れることは少なく、合成関数の微分と組み合わせて使うことがほとんどだ。

$y=e^{3x}$ の微分は、$u=3x$ とおけば $y=e^u$ なので、

$$y^{\prime }=e^u\cdot u^{\prime }=3e^{3x}$$

$y=\log (x^2+1)$ の微分は、$u=x^2+1$ とおけば $y=\log u$ なので、

$$y^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$$

一般に、合成関数の微分と組み合わせた公式を書くと次のようになる。

$$(e^{f(x)}{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)e^{f(x)},(\log f(x){)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

特に $\log f(x)$ の微分が $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ という「元の関数分の微分」の形になる点は、対数微分法の基礎として後の学習でも繰り返し使うことになる。

$|x|$ の対数の微分

$x<0$ のとき $\log x$ は定義されないが、$\log |x|$ なら $x\ne 0$ の範囲で定義できる。$x>0$ のときは $\log |x|=\log x$ なので $(\log |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ である。$x<0$ のときは $\log |x|=\log (-x)$ なので、

$$(\log |x|{)}^{\prime }=\frac{(-x{)}^{\prime }}{-x}=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$$

どちらの場合も結果は同じで、

$$(\log |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x\ne 0)$$

が成り立つ。積分で $\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$ と絶対値をつける理由はここにある。

重要な極限公式

$e^x$ と $\log x$ の微分を導く過程で使った次の 2 つの極限は、数学Ⅲ全体を通じて繰り返し登場する。

どちらの公式も「$e$ の定義から微分公式を導く」流れと「微分公式から極限値を読み取る」流れの両方向で理解しておくと、問題への対応力が上がる。