判別式が負の二次不等式はどうなるか？解なしとすべての実数

因数分解できない二次不等式に当たったら、まず判別式を計算します。

$D < 0$ と分かった時点で、答えは「すべての実数」か「解なし」のどちらかに決まる。境目の値を探す作業そのものが消えます。

交わらない放物線は符号が変わらない

$D < 0$ は、放物線が $x$ 軸と交わらないという意味です。交点がないため、符号が入れ替わる場所もない。

下に凸なら放物線はまるごと $x$ 軸より上にあり、値はどこでも正。上に凸ならまるごと下にあり、値はどこでも負。

平方完成すると隙間が見える

$x^{2} - 2 x + 3$ を平方完成します。

$x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$

$(x - 1)^{2}$ は $0$ 以上で、そこに $2$ を足しているため、全体は $2$ 以上。いちばん小さくなる $x = 1$ のときでも値は $2$ で、 $0$ には届きません。

$D < 0$ という計算は、この隙間があることを $b^{2} - 4 a c$ ひとつで言い当てています。

$a > 0$ のときの 4 通り

$D < 0$ で下に凸なら、二次式の値はつねに正。 $0$ になる $x$ が 1 つもないところが効いてきます。

不等式	解
$a x^{2} + b x + c > 0$	すべての実数
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	すべての実数
$a x^{2} + b x + c < 0$	解なし
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	解なし

$> 0$ と $\geq 0$ が同じ答えになるところが、境界が 2 本あるときとの違いです。値が $0$ をとらないため、等号を足しても新しく加わる $x$ がない。

$a < 0$ のときの 4 通り

上に凸なら値はつねに負で、答えがそっくり入れ替わる。

不等式	解
$a x^{2} + b x + c > 0$	解なし
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	解なし
$a x^{2} + b x + c < 0$	すべての実数
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	すべての実数

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… headList[column] …)

例：解がすべての実数になるもの

$2 x^{2} + 3 x + 4 > 0$ を解きます。 $D = 9 - 32 = - 23$ で負。

$x^{2}$ の係数が $2$ で正だから下に凸。放物線は $x$ 軸より上に浮いていて、 $> 0$ はどこでも成り立つ。

答えはすべての実数。 $x = 0$ で $4 > 0$ 、 $x = - 10$ で $200 - 30 + 4 = 174 > 0$ と、離れた 2 点でも成り立っています。

例：解なしになるもの

$- 3 x^{2} + x - 1 \geq 0$ を解きます。 $D = 1 - 4 \times (- 3) \times (- 1) = 1 - 12 = - 11$ で負。

係数が $- 3$ で上に凸だから、値はつねに負。 $\geq 0$ を満たす $x$ は 1 つもない。

答えは解なし。 $x = 0$ で $- 1$ 、 $x = 1$ で $- 3$ と、どこを試しても負のまま。

$x^{2} + x + 1 < 0$ の解はどれですか。

すべての実数
解なし
$x \neq = - \frac{1}{2}$

__RESULT__

$D = 1 - 4 = - 3$ で負、係数が $1$ で下に凸です。放物線は $x$ 軸より上に浮いているため、値はつねに正。 $< 0$ を満たす $x$ はありません。 $> 0$ ならすべての実数になります。

係数を正にそろえてから判定する

上に凸のまま扱う道と、両辺に $- 1$ をかけて下に凸へそろえる道があります。

$- x^{2} + 2 x - 3 < 0$ の両辺に $- 1$ をかけると、不等号の向きが変わる。

$x^{2} - 2 x + 3 > 0$

こちらは $D = 4 - 12 = - 8$ で負、下に凸。答えはすべての実数。もとの式でも、上に凸で値がつねに負だから $< 0$ が成り立ち、同じ結論に着きます。

判別式と因数分解のどちらを先にするか

$D$ が平方数なら因数分解でき、そうでなければ解の公式か、 $D < 0$ で終わる。

因数分解が目で見つかる形なら、そちらが短い。 $x^{2} - 5 x + 6$ は足して $- 5$ 、かけて $6$ の 2 数が並びます。

見つからないときに $D$ を計算すると、 $D < 0$ ならその場で答えが決まり、 $D > 0$ なら解の公式へ移る。どちらに転んでも 1 回の計算で先が決まります。

定数を含む式

$x^{2} + k x + 4 > 0$ がすべての実数で成り立つ $k$ を求めます。

下に凸はすでに決まっているため、あとは $x$ 軸と交わらない条件を書けば足りる。

$D = k^{2} - 16 < 0$

$(k - 4) (k + 4) < 0$ から $- 4 < k < 4$ 。

$k = 0$ なら $x^{2} + 4 > 0$ でつねに成り立ち、 $k = 5$ なら $x^{2} + 5 x + 4 = (x + 1) (x + 4)$ で $- 4 < x < - 1$ が成り立たない範囲になります。範囲の内と外で、答えが食い違いました。

$x^{2} - 6 x + k > 0$ がすべての実数で成り立つ $k$ の範囲はどれですか。

$k > 9$
$k \geq 9$
$k < 9$

__RESULT__

$\frac{D}{4} = 9 - k$ です。すべての実数で $> 0$ が成り立つのは $D < 0$ のときなので $9 - k < 0$ 、つまり $k > 9$ 。 $k = 9$ では接してしまい、 $x = 3$ で値が $0$ になって $> 0$ を満たしません。

判定に使う情報は 2 つだけ

$D$ の符号と $a$ の符号。この 2 つが決まれば、 $D < 0$ の場合の答えは表から読めます。

境界を求めなくてよいぶん、根号の計算も区間の書き分けも起きない。因数分解できない式に当たったときは、まず $D$ を計算して、この 2 つで終わるかどうかを見ます。

$D < 0$ は放物線が $x$ 軸と交わらないという意味なので、符号が入れ替わる場所がありません。だから答えは「すべての実数」か「解なし」の 2 つだけ。境界を探す作業そのものが消えます。$x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$ と平方完成すれば、頂点が $2$ の高さに浮いていることが目で見える。$a$ の符号と 4 つの不等号で 8 通りをまとめ、$> 0$ と $\geq 0$ が同じ答えになる理由まで扱いました。$x^2 + kx + 4 > 0$ がつねに成り立つ $k$ の範囲も。