群を距離空間として見る〜Cayley グラフと球の育ち方

群の元を点に、生成元を掛ける操作を辺にすると、群が図形になります^[1]。

$\mathbb{Z}$ は直線、${\mathbb{Z}}^2$ は方眼、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は輪、$2$ 生成の自由群は木。図形の形を見ると、群の性質が距離や広がり方として現れます。

定義

群 $G$ と部分集合 $S\subseteq G$ に対し、次の有向グラフを作ります^[1]。

$S$ が $G$ を生成するとき、これを $S$ に関するケイリーグラフといいます^[1]。

$\Gamma (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\{1\})$ は長さ $n$ の輪、$\Gamma (\mathbb{Z},\{1\})$ は両側に無限に伸びる道です^[1]。

$\Gamma ({\mathbb{Z}}^2,\{(1,0),(0,1)\})$ は方眼になります。$2$ 生成の自由群では、生成元と逆元の 4 方向へ枝分かれし続ける木になる。

生成系で形が変わる

同じ群でも、生成系を替えると別の形になります^[1]。

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ を $\{1\}$ で見れば長さ $4$ の輪です。$\{1,2\}$ を使うと、向かい合う頂点を結ぶ辺が増えます^[1]。

$\mathbb{Z}$ を $\{1\}$ で見れば直線ですが、$\{2,3\}$ で見ると幅を持ったはしごのような形になります。生成系は群が決めるものではないので、形は 1 つに定まりません。

群が自分のグラフに作用する

$g\in G$ を左から掛ける操作は、ケイリーグラフの自己同型です。辺 $h\to hs$ が辺 $gh\to ghs$ へ移るためです。

この作用は可移で自由です。$g\cdot h=h$ となるのは $g=e$ のときだけ。

だからケイリーグラフは、どの頂点から見ても同じ形をしています。原点にあたる単位元に特別な役目はありません。

グラフの側からも同じことが言えます。群が自己同型として自由かつ可移に作用するグラフは、その群のケイリーグラフになる。図形と群が対応します。

語が閉じた道になる

生成元の語は、単位元から出発する道に対応します。$s_1{s}_2\cdots s_k$ という語は、辺を $k$ 本たどる道です。

語が単位元を表すことは、道が出発点へ戻ることと同じ。だから群の関係式は、グラフの閉じた道として見えます。

自由群のケイリーグラフが木になるのは、閉じた道がないからです^[1]。関係式がないことが、図形の側では「輪がない」という形で現れます。

語の距離

グラフに距離を入れます。$g\in G$ の語ノルム $|g{|}_S$ を、$g$ を表す最短の語の長さとします^[2]。

$$d_S(g,h)=|g^{-1}h{|}_S$$

これが群の上の距離になります^[2]。$|gh|\le |g|+|h|$ から三角不等式が出て、$|g|=0$ は $g=e$ と同じ。

同じものを、ケイリーグラフの各辺に長さ $1$ を与えて測っても得られます^[2]。頂点どうしの距離は、それらを結ぶ道の長さの最小値です。

3 つの性質が成り立ちます^[2]。左から掛ける操作が等長になること。任意の 2 点の距離が実際の道で実現されること。$S$ が有限なら、半径を決めた球に有限個の元しか入らないこと。

生成系を替えても比は有界

距離は生成系に依存します。それでも、2 つの有限生成系から来る距離は定数倍の範囲に収まります^[2]。

$S$ と $T$ を有限生成系とします。各 $s\in S$ は $T$ 上の語で書けるので、その長さの最大値を $C_1$ と置きます。

$S$ 上のどんな語も $T$ 上の語に書き換えられ、長さは高々 $C_1$ 倍になる。だから $|g{|}_T\le C_1|g{|}_S$ です^[2]。

逆向きも同じ議論で出ます。$C$ をとれば

$$C^{-1}{d}_T\le d_S\le C{d}_T$$

が成り立ちます^[2]。細かい形は生成系で変わっても、大きく見たときの形は変わらない。この考え方が幾何学的群論の出発点になります。

球の育ち方

単位元を中心とする半径 $n$ の球の大きさを ${\phi }_S(n)$ と書き、増大度関数といいます^[2]。

${\mathbb{Z}}^2$ では $\phi (n)=2n^2+2n+1$ です。$n=1$ で $5$、$n=2$ で $13$、$n=3$ で $25$ と、$n^2$ の速さで増えます。

$2$ 生成の自由群では、半径 $n$ の球面が $4\cdot 3^{n-1}$ 個。合計すると $\phi (n)=2\cdot 3^n-1$ で、指数関数の速さです。

増大度の型も生成系によりません^[2]。ある生成系で多項式なら、どの生成系でも同じ次数の多項式になります。

だから「多項式増大」「指数増大」は群の性質として意味を持ちます^[2]。

多項式増大の正体

有限生成の冪零群は多項式増大です。Wolf が 1968 年に示しました^[2]。

逆も成り立ちます。Gromov が 1981 年に、多項式増大の有限生成群は概冪零だと証明しました^[2]。有限指数の冪零部分群を持つ、という意味です。

「概」を落とせません^[2]。冪零でないのに冪零な有限指数部分群を持つ群があるためです。

増大度という幾何の量が、冪零性という代数の性質を言い当てる。ケイリーグラフを見ることに意味がある、といういちばん強い例になっています。

あいだの速さ

多項式と指数のあいだはあるのか。Milnor が立てたこの問いは、長く開いていました^[2]。

線型群では中間はありません。Tits の二者択一からです^[2]。可解群でも中間はなく、Milnor と Wolf の結果から多項式か指数のどちらかになります^[2]。

Grigorchuk が 1983 年に、中間増大の群を作りました^[2]。多項式より速く、指数より遅い。

Dehn の Gruppenbild

この図形を最初に使ったのは Dehn です^[3]。判定問題を考えるときに、Gruppenbild と呼ぶ図を描いていました^[3]。

いまの言葉でのケイリーグラフです。頂点が群の元、辺が $g$ と $gs$ を結ぶもので、辺には色が付けられます^[3]。

Dehn は曲面群の語の問題を、この図の上で解きました。代数の問題を図形の問題に置き換える、という方針がすでにここにあります。

ケイリーグラフは、群を距離空間として扱うための入口です。生成系を選ぶと形が決まり、選び直すと形は変わる。それでも定数倍の範囲でしか変わらないので、大きく見たときの性質だけが群の不変量として残ります。

参考