二次不等式が「解をもたない」条件は裏返して考える

「 $a x^{2} + b x + c < 0$ が解をもたない」を、そのまま条件式に直そうとすると手が止まります。解が「ない」ことを書く式がないため。

そこで裏返します。 $< 0$ になる $x$ が 1 つもない、ということは、どの $x$ でも $< 0$ にならない。つまり、どの $x$ でも $\geq 0$ です。

$a x^{2} + b x + c < 0 が解なし ⟺ すべての実数で a x^{2} + b x + c \geq 0$

「ない」の条件が、「すべてで成り立つ」の条件に化けました。こちらなら $a$ と $D$ で書けます。

解の帯が空になる、を裏返す

数直線の上で見ます。 $< 0$ の解が空だということは、その反対の $\geq 0$ が数直線をまるごと埋めているということ。

2 つの範囲は、境界も含めてちょうど数直線を分け合う。片方が空なら、もう片方が全体になります。

裏返すと 4 通りの対応になる

もとの不等号によって、行き先が変わります。

解をもたない	言い換え	条件
$< 0$	つねに $\geq 0$	$a > 0$ 、 $D \leq 0$
$\leq 0$	つねに $> 0$	$a > 0$ 、 $D < 0$
$> 0$	つねに $\leq 0$	$a < 0$ 、 $D \leq 0$
$\geq 0$	つねに $< 0$	$a < 0$ 、 $D < 0$

不等号の向きが裏返り、等号がついていたものは外れ、ついていなかったものにはつく。

$< 0$ の否定は $\geq 0$ 。 $\leq 0$ の否定は $> 0$ 。この入れ替わりが、判別式の側の等号にそのまま伝わっている。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… plan.from …)

例：等号なしから始める

$x^{2} + k x + k + 3 < 0$ が解をもたない $k$ を求めます。

裏返すと「すべての実数で $\geq 0$ 」。 $x^{2}$ の係数は $1$ で正だから、残るのは $D \leq 0$ のほう。

$D = k^{2} - 4 (k + 3) = k^{2} - 4 k - 12 = (k - 6) (k + 2) \leq 0$

$- 2 \leq k \leq 6$ 。

$k = 0$ で試すと $x^{2} + 3$ で、どの $x$ でも正。 $< 0$ になる $x$ は 1 つもない。 $k = 7$ なら $x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ で、 $- 5 < x < - 2$ が $< 0$ になる。範囲の外へ出ると解が現れました。

例：等号つきから始める

$x^{2} - 2 x + k \leq 0$ が解をもたない $k$ を求めます。

裏返すと「すべての実数で $> 0$ 」。こんどは接することも許されないため、 $D < 0$ になる。

$\frac{D}{4} = 1 - k < 0, k > 1$

$k = 1$ を入れると $(x - 1)^{2} \leq 0$ で、 $x = 1$ が解になってしまう。 $1$ 点でも解があれば「解をもたない」は崩れます。等号を落とさずに $D \leq 0$ としてしまうと、この $k = 1$ を答えに含めてしまう。

例： $x^{2}$ の係数が負のとき

$- x^{2} + 4 x + k > 0$ が解をもたない $k$ を求めます。

裏返すと「すべての実数で $\leq 0$ 」。 $x^{2}$ の係数は $- 1$ で、 $a < 0$ はすでに満たされている。

$\frac{D}{4} = 4 + k \leq 0, k \leq - 4$

$k = - 4$ なら $- x^{2} + 4 x - 4 = - (x - 2)^{2}$ で、 $x = 2$ のとき $0$ 。 $> 0$ にはならないので、たしかに解をもちません。

例：そんな定数が存在しない場合

$2 x^{2} + 3 x + k > 0$ が解をもたない $k$ を求めます。

裏返すと「すべての実数で $\leq 0$ 」で、そのためには $a \leq 0$ がいります。ところが $x^{2}$ の係数は $2$ で正。

下に凸の放物線は、 $k$ をどれだけ大きくしても小さくしても、両端が必ず上へ伸びます。 $x$ を大きくすれば値はいくらでも大きくなり、 $> 0$ になる $x$ が残る。

条件を満たす $k$ は存在しません。答えが「なし」になる問題もある。

$x^{2} + 6 x + k < 0$ の $k$ を上げていくと、放物線が持ち上がって解の帯が縮みます。 $D = 36 - 4 k = 0$ となる $k = 9$ で接し、そこから先は解なし。

$k = 9$ のときは接するだけで $< 0$ を満たす点がないため、 $k = 9$ も答えに入ります。 $D \leq 0$ の等号がここに効いている。

$x^{2} - 4 x + k \leq 0$ が解をもたない $k$ の範囲はどれですか。

$k > 4$
$k \geq 4$
$k < 4$

__RESULT__

裏返すと「すべての実数で $> 0$ 」なので $D < 0$ です。 $\frac{D}{4} = 4 - k < 0$ から $k > 4$ 。 $k = 4$ では $(x - 2)^{2} \leq 0$ が $x = 2$ で成り立ってしまい、解をもってしまいます。

「解をもつ」条件は否定をもう一度とる

$x^{2} + k x + k + 3 < 0$ が解をもつ $k$ を求めるなら、さきほどの答えの外側です。

解をもたない範囲が $- 2 \leq k \leq 6$ だったため、解をもつのはその外側です。

$k < - 2 または k > 6$

「もつ」と「もたない」は、 $k$ の数直線をちょうど分け合っている。境界の $k = - 2$ と $k = 6$ は「もたない」側で、そこでは放物線が接して離れません。

こちらから直接立てるなら $D > 0$ で、 $(k - 6) (k + 2) > 0$ 。同じ範囲に着きます。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… plan.label …)

解がちょうど 1 つになる条件

$x^{2} + k x + k + 3 \leq 0$ の解がちょうど 1 つになるのは、接するとき。 $D = 0$ です。

$(k - 6) (k + 2) = 0$ から $k = - 2$ または $k = 6$ 。

$k = - 2$ なら $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ で、解は $x = 1$ 。 $k = 6$ なら $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ で、解は $x = - 3$ になります。

$< 0$ のほうでは、 $D = 0$ でも解が現れません。接する点では値が $0$ で、 $< 0$ を満たさないため。等号の有無で $D = 0$ の行き先が変わります。

$- x^{2} + 2 x + k \geq 0$ が解をもたない $k$ の範囲はどれですか。

$k < - 1$
$k \leq - 1$
$k > - 1$

__RESULT__

裏返すと「すべての実数で $< 0$ 」で、 $a = - 1 < 0$ はすでに満たされています。残るのは $D < 0$ で、 $\frac{D}{4} = 1 + k < 0$ から $k < - 1$ 。 $k = - 1$ では $- (x - 1)^{2}$ となり、 $x = 1$ で $0$ になって $\geq 0$ を満たしてしまいます。

まちがえやすい点

裏返すときに等号を動かし忘れる場所が 1 か所あります。

$< 0$ が解なし、を「 $D < 0$ 」と書いてしまう形。正しくは $D \leq 0$ で、接する場合も入ります。接する点では値が $0$ になり、 $< 0$ にはならないため、解なしのままだから。

逆に $\leq 0$ が解なし、では $D < 0$ が正しい。接すると $0$ が現れ、 $\leq 0$ を満たしてしまいます。

もとの不等号に等号がついていれば判別式の側は等号なし、ついていなければ判別式の側に等号がつく。ちょうど入れ替わる形になっています。

言葉で「ない」と書かれたら、まず「すべてで成り立つ」に置き直す。そこまで来れば、あとは $a$ の符号と $D$ の符号を書くだけの問題になります。

解が「ない」ことを書く式はありません。そこで裏返します。$ax^2+bx+c<0$ が解をもたないのは、どの $x$ でも $\geq 0$ になるとき。「ない」の条件が「すべてで成り立つ」に化け、$a$ と $D$ で書けるようになります。裏返すと不等号の向きだけでなく等号も入れ替わり、$<0$ が解なしなら $D \leq 0$、$\leq 0$ が解なしなら $D < 0$。$2x^2+3x+k>0$ が解をもたない $k$ のように、答えが存在しない場合も扱いました。「解をもつ」条件と、解がちょうど 1 つになる条件まで。