二次式が常に正（または常に負）になる条件

二次式 $a x^{2} + b x + c$ がすべての実数 $x$ に対して正の値をとり続ける、あるいは負の値をとり続ける条件は、二次関数や二次不等式のさまざまな場面で登場します。この条件を係数 $a$ と判別式 $D$ で簡潔に表せることを理解しておくと、応用問題に対処しやすくなります。

「常に正」の条件

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ がすべての実数 $x$ に対して $f (x) > 0$ を満たすための条件を考えます。これはグラフ $y = f (x)$ が $x$ 軸より常に上にあることを意味します。

下に凸の放物線が $x$ 軸と交わらなければ、グラフ全体が $x$ 軸の上方にとどまります。この状況は

$a > 0 かつ D < 0$

で表されます。 $a > 0$ が「下に凸」を、 $D < 0$ が「 $x$ 軸と交わらない」を保証しています。

なぜ

a > 0

が必要か

$a < 0$ だと上に凸になり、放物線の両端が下がっていくので、十分に大きな $∣ x ∣$ では $f (x) < 0$ になります。 $a = 0$ だと一次式になり、すべての実数で正にはなれません（ $b \neq = 0$ のとき）。

なぜ

D < 0

が必要か

$D \geq 0$ だと方程式 $f (x) = 0$ が実数解をもつため、その点で $f (x) = 0$ になり、 $f (x) > 0$ が崩れます。

「常に負」の条件

同様に、 $f (x) < 0$ がすべての実数で成り立つ条件は

$a < 0 かつ D < 0$

です。上に凸の放物線が $x$ 軸と交わらなければ、グラフ全体が $x$ 軸の下方にあります。

常に正（

f (x) > 0

）

$a > 0$ かつ $D < 0$

常に負（

f (x) < 0

）

$a < 0$ かつ $D < 0$

$D < 0$ は共通で、 $a$ の符号だけが異なります。

「常に非負」「常に非正」の条件

等号を許容する場合、つまり $f (x) \geq 0$ や $f (x) \leq 0$ がすべての実数で成り立つ条件は、判別式の等号の扱いが変わります。

$D = 0$ のとき放物線は $x$ 軸にちょうど接し、接点で $f (x) = 0$ になります。 $f (x) > 0$ は接点で成り立ちませんが、 $f (x) \geq 0$ なら $0$ を含むので接点でも成立します。

条件	$a$ の符号	$D$ の条件
常に $> 0$	$a > 0$	$D < 0$
常に $\geq 0$	$a > 0$	$D \leq 0$
常に $< 0$	$a < 0$	$D < 0$
常に $\leq 0$	$a < 0$	$D \leq 0$

厳密な不等号（ $>$ , $<$ ）では $D < 0$ 、等号つき（ $\geq$ , $\leq$ ）では $D \leq 0$ というのが対応関係です。

平方完成による理解

$f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{D}{4 a}$ と平方完成すると、常に正になる条件を別の角度から確認できます。

$a > 0$ のとき、 $(x + \frac{b}{2 a})^{2} \geq 0$ なので $f (x)$ の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で達成され、その値は $- \frac{D}{4 a}$ です。

$f (x)$ が常に正であるためには最小値が正、つまり $- \frac{D}{4 a} > 0$ であればよいです。 $a > 0$ なので両辺に $4 a$ を掛けると $- D > 0$ 、すなわち $D < 0$ が得られます。

平方完成で求めた頂点の $y$ 座標が正であることと $D < 0$ は同値。

平方完成は判別式の条件に別の導出経路を与えてくれます。「最小値が正 ⟺ グラフ全体が $x$ 軸より上」という直感的な理解と $D < 0$ が結びつくのがこの議論のポイントです。

具体的な問題

$f (x) = x^{2} + (k - 1) x + k$ がすべての実数 $x$ に対して $f (x) > 0$ を満たすような定数 $k$ の範囲を求めます。

二次の係数は $1 > 0$ なので $a > 0$ はすでに満たされています。 $D < 0$ を立てると

$D = (k - 1)^{2} - 4 k = k^{2} - 6 k + 1 < 0$

$k^{2} - 6 k + 1 = 0$ の解は $k = 3 \pm 22$ です。 $k^{2} - 6 k + 1 < 0$ の解は

$3 - 22 < k < 3 + 22$

です。 $2 \approx 1.41$ なので、およそ $0.17 < k < 5.83$ の範囲で $f (x)$ は常に正となります。

二次の係数に文字が含まれるケース

$f (x) = k x^{2} + 2 x + k$ がすべての実数で $f (x) > 0$ を満たす条件を求めます。ここでは $a = k$ なので、 $k > 0$ を明示的に要求する必要があります。

$D = 4 - 4 k^{2} < 0$ より $k^{2} > 1$ 、つまり $k < - 1$ または $k > 1$ です。 $k > 0$ と合わせると $k > 1$ が答えになります。

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + k$ がすべての実数で $f (x) \geq 0$ を満たすための $k$ の条件はどれですか？

$k > 2$
$k \geq 2$
$k > 0$
$k \geq 0$

__RESULT__

$a = 2 > 0$ なので、 $D \leq 0$ （ $\geq$ は等号つきなので $D = 0$ を許容）を求めます。 $D = 16 - 8 k \leq 0$ より $8 k \geq 16$ 、つまり $k \geq 2$ です。

二次式の符号が定まらない場合

$D > 0$ のとき、二次式は正の値も負の値もとります。下に凸（ $a > 0$ ）であっても 2 つの交点の間では負になるため、「常に正」にも「常に負」にもなりません。

$D = 0$ のとき、厳密な意味では「常に正」ではありませんが「常に非負」ではあります。接点で $0$ をとるものの負にはならないからです。問題文が「常に正」と「常に $0$ 以上」のどちらを聞いているかを正確に読み取ることが大切です。

D > 0

なら符号は定まらない（正にも負にもなる）

D = 0

なら厳密な意味での「常に正」や「常に負」は不成立だが、「常に非負」「常に非正」は成立しうる

D < 0

なら

a

の符号に応じて常に正または常に負

問題を解くときは、まず $D$ の符号を調べて場合を分類し、次に等号の有無を確認するという順序で進めれば、判定を間違える余地はほとんどありません。