二次式がつねに正になる条件は頂点の高さ、範囲が区切られると端も見る

下に凸の二次式でいちばん低い場所は頂点です。そこが $x$ 軸より上にあれば、残りはすべて上にある。

だから「つねに正」を確かめるには、頂点の高さを 1 つ見れば足ります。

平方完成が頂点を教える

$x^2-6x+11$ を平方完成します。

$$x^2-6x+11=(x-3{)}^2+2$$

$(x-3{)}^2$ は $0$ 以上で、いちばん小さくなるのは $x=3$ のとき。そこでの値が $2$ です。

最小値が $2$ で正だから、この式はどの $x$ でも正。

判別式と同じことを言っている

$a{x}^2+bx+c$ を平方完成すると、頂点の高さは $-\frac{D}{4a}$ になります。

$a>0$ のとき、この値が正になる条件は $D<0$。頂点が $x$ 軸より上にあることと、$x$ 軸と交わらないことが、同じ 1 つの事実の裏表になっています。

$x^2-6x+11$ で確かめる。$D=36-44=-8$ で、$-\frac{D}{4a}=\frac{8}{4}=2$。平方完成で求めた最小値と一致しました。

平方完成のほうは最小値そのものが手に入り、判別式のほうは符号だけが手早く決まる。どちらの道でも同じ場所に着きます。

「つねに正」と「つねに $0$ 以上」を分ける

頂点がちょうど $x$ 軸に乗っているときが境目です。

$(x-3{)}^2$ は $0$ 以上ですが、つねに正ではない。$x=3$ で $0$ になるためです。

問題文が「正」なのか「$0$ 以上」なのかで、等号の入る場所が 1 か所変わります。

例：係数に文字が入る場合

$x^2+kx+9$ がつねに正になる $k$ を求めます。平方完成する。

$$x^2+kx+9={\left(x+\frac{k}{2}\right)}^2+9-\frac{k^2}{4}$$

最小値は $9-\frac{k^2}{4}$ で、これが正であればよい。

$$9-\frac{k^2}{4}>0,k^2<36,-6<k<6$$

判別式でも $D=k^2-36<0$ から同じ範囲に着きます。

範囲が区切られると頂点だけでは決まらない

$x$ の動く範囲に制限がつくと、話が変わります。頂点がその範囲の中にあるとは限らないため。

範囲の中に頂点があれば、頂点が最小。範囲の外にあれば、端のうち頂点に近いほうが最小になる。

例：範囲の中に頂点があるとき

$x^2-4x+k$ が $0\le x\le 3$ でつねに正になる $k$ を求めます。

平方完成すると $(x-2{)}^2+k-4$ で、頂点は $x=2$。この値は範囲の中にあります。

最小値は頂点の $k-4$。これが正であればよい。

$$k-4>0,k>4$$

$k=5$ で試すと $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$ で、範囲の中の最小は $1$。たしかに正です。

例：頂点が範囲の外にあるとき

同じ $x^2-4x+k$ を、こんどは $3\le x\le 5$ で考えます。

頂点の $x=2$ は範囲の外、それも左側。範囲の中では右上がりだから、いちばん低いのは左端の $x=3$。

$$f(3)=9-12+k=k-3>0,k>3$$

範囲が違うだけで条件が $k>4$ から $k>3$ に変わりました。頂点の高さをそのまま使うと、$k=3.5$ のような値を落とします。

$k=3.5$ で確かめます。$x^2-4x+3.5$ の頂点の値は $-0.5$ で負ですが、$x=3$ では $0.5$、$x=5$ では $8.5$。範囲の中では正のままです。

上に凸のときは最大値を見る

$a<0$ なら頂点がいちばん高い場所になります。「つねに負」を確かめるなら、頂点の高さが $x$ 軸より下かどうか。

$-x^2+2x-5$ を平方完成すると $-(x-1{)}^2-4$ で、最大値は $-4$。いちばん高いところで負だから、どこでも負。

見る場所が最小から最大へ移るだけで、手順は変わりません。

補足：最小値を求める問題とつながっている

「つねに正」の条件は、最小値を求めてその符号を見る作業そのものです。

範囲が実数全体なら最小値は頂点の高さ。範囲が区切られていれば、頂点が中か外かで最小の場所が移る。二次関数の最大最小で使う場合分けが、そのまま符号の判定に使えます。

範囲つきの問題で頂点の値だけを見て答えると、条件がきつくなりすぎる。窓の中のどこがいちばん低いかを、先に決めておきます。