下に凸の二次式でいちばん低い場所は頂点なので、そこが $x$ 軸より上なら残りもすべて上。$x^2-6x+11 = (x-3)^2+2$ の最小値 $2$ が、そのまま「つねに正」の根拠になります。頂点の高さは $-\dfrac{D}{4a}$ で、判別式の条件と同じことを別の形で言っている。ところが $x$ の範囲が区切られると、頂点が範囲の外に落ちることがあり、そのときは端のほうが最小になります。$x^2-4x+k$ が $0 \leq x \leq 3$ なら $k>4$、$3 \leq x \leq 5$ なら $k>3$。上に凸で最大値を見る場合まで。