分解群と惰性群（代数的整数論）

数体の拡大 $L/K$ が Galois 拡大であるとき、$K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ が $L$ でどのように分解するかを、Galois 群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ の部分群として記述できます。この枠組みが分解群（decomposition group）と惰性群（inertia group）です。

素イデアル分解の復習

$K$ を代数体、${\mathcal{O}}_K$ をその整数環とします。$L/K$ を Galois 拡大とし、${\mathcal{O}}_L$ を $L$ の整数環とします。$\mathfrak{p}$ を ${\mathcal{O}}_K$ の素イデアルとすると、${\mathcal{O}}_L$ における拡大イデアル $\mathfrak{p}{\mathcal{O}}_L$ は次の形に分解されます。

$$\mathfrak{p}{\mathcal{O}}_L=({\mathfrak{P}}_1\cdots {\mathfrak{P}}_g{)}^e$$

ここで ${\mathfrak{P}}_1,\dots ,{\mathfrak{P}}_g$ は ${\mathcal{O}}_L$ の相異なる素イデアルであり、$e$ は分岐指数、$f=[({\mathcal{O}}_L/{\mathfrak{P}}_i):({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p})]$ は剰余次数です。Galois 拡大の場合、すべての ${\mathfrak{P}}_i$ について $e$ と $f$ は共通の値をとり、基本等式 $efg=[L:K]$ が成り立ちます。

この等式は拡大の次数がどのように「配分」されるかを示しており、分解群と惰性群はこの配分を群論的に捉える道具にあたります。

分解群の定義

$\mathfrak{P}$ を $\mathfrak{p}$ の上にある ${\mathcal{O}}_L$ の素イデアルとします。$\mathfrak{P}$ の分解群（decomposition group）$D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})$ は次のように定義されます。

$$D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})=\{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)\mid \sigma (\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$$

つまり、$\mathfrak{P}$ を自分自身に移す Galois 群の元全体です。$\mathrm{Gal}(L/K)$ は $\mathfrak{p}$ の上にある素イデアル ${\mathfrak{P}}_1,\dots ,{\mathfrak{P}}_g$ の集合に推移的に作用するため、$D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})$ はこの作用における $\mathfrak{P}$ の固定部分群（stabilizer）に一致します。

軌道・固定部分群の定理から、

$$|D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})|=\frac{|\mathrm{Gal}(L/K)|}{g}=\frac{[L:K]}{g}=ef$$

が得られます。分解群の位数が $ef$ であることは、分解群が分岐と剰余体の拡大の両方の情報を含んでいることを意味しています。

惰性群の定義

分解群の中から、さらに剰余体の元を動かさない自己同型を取り出したものが惰性群（inertia group）$I(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})$ です。

$$I(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})=\{\sigma \in D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})\mid \sigma (x)\equiv x(\mathrm{mod}\mathfrak{P}),\forall x\in {\mathcal{O}}_L\}$$

$\sigma \in D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{P}$ を保つので、剰余体 ${\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P}$ 上に自己同型 $\bar{\sigma }$ を誘導します。惰性群はこの $\bar{\sigma }$ が恒等写像となるものの全体です。

惰性群の位数が分岐指数 $e$ に一致することは、次の完全系列から従います。

$$1⟶I(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})⟶D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})⟶\mathrm{Gal}(({\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P})/({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}))⟶1$$

右端の剰余体の Galois 群の位数は $f$（剰余次数）なので、$|I|=|D|/f=ef/f=e$ となります。

部分群の列と素イデアル分解の対応

以上をまとめると、Galois 群には次のような部分群の列が存在します。

$$\{1\}\subset I(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})\subset D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})\subset \mathrm{Gal}(L/K)$$

各部分群の指数が素イデアル分解のパラメータに対応しています。

この対応は非常に見通しがよく、$efg=[L:K]$ という基本等式が群の指数の積として自然に再現されます。

不分岐の場合のフロベニウス元

$\mathfrak{p}$ が $L/K$ で不分岐（$e=1$）である場合、惰性群は自明群 $\{1\}$ となり、分解群は剰余体の拡大の Galois 群と同型になります。

$$D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})\cong \mathrm{Gal}(({\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P})/({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}))$$

有限体の拡大 ${\mathbb{F}}_{q^f}/{\mathbb{F}}_q$（$q=|{\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}|$）の Galois 群は、フロベニウス写像 $x\mapsto x^q$ で生成される $f$ 位の巡回群です。したがって、不分岐のとき分解群には $\bar{\sigma }(x)=x^q$ を満たす唯一の元が存在し、これをフロベニウス元（Frobenius element）と呼びます。

$${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}\in D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p}),{\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}(x)\equiv x^q(\mathrm{mod}\mathfrak{P})$$

$\mathfrak{P}$ の選び方を変えると ${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{P}}$ は共役で移り合うため、$L/K$ がアーベル拡大のときはフロベニウス元は $\mathfrak{p}$ のみに依存し、${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{p}}$ と書けます。このフロベニウス元はアルティンの相互法則やチェボタレフの密度定理で中心的な役割を果たします。

具体例: $\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q}$ での素数 $l$ の分解

$p$ を奇素数、${\zeta }_p$ を $p$ 乗根の原始根とします。$L=\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ は $\mathbb{Q}$ 上の Galois 拡大であり、

$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$$

で、${\sigma }_a({\zeta }_p)={\zeta }_p^a$（$a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$）が対応します。$l\ne p$ を素数とすると、$l$ は不分岐であり、フロベニウス元は ${\sigma }_l$（${\zeta }_p\mapsto {\zeta }_p^l$）に対応します。

$l$ の $\mathbb{Z}[{\zeta }_p]$ における分解の様子は、${\sigma }_l$ が $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ の中で生成する巡回部分群の位数 $f$（$l$ の $p$ を法とする位数 ${\mathrm{ord}}_p(l)$）によって決まります。

たとえば $p=7$ の場合、$(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は位数 6 の巡回群です。素数 $l=2$ の位数は ${\mathrm{ord}}_7(2)=3$（$2^3=8\equiv 1$）なので、$f=3$, $g=2$ となり、$(2)$ は $\mathbb{Z}[{\zeta }_7]$ で 2 つの素イデアルの積に分解されます。一方 $l=3$ は ${\mathrm{ord}}_7(3)=6$（$3$ は原始根）なので惰性的です。

分解群の共役性

$\mathfrak{p}$ の上にある 2 つの素イデアル $\mathfrak{P}$ と ${\mathfrak{P}}^{\prime }$ があるとき、$\sigma (\mathfrak{P})={\mathfrak{P}}^{\prime }$ となる $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ が存在し、

$$D({\mathfrak{P}}^{\prime }|\mathfrak{p})=\sigma D(\mathfrak{P}|\mathfrak{p}){\sigma }^{-1}$$

が成り立ちます。惰性群についても同様の共役関係が成立します。したがって、分解群と惰性群の群論的な性質（位数、構造など）は $\mathfrak{P}$ の選び方によらず一定です。この事実は、$\mathfrak{p}$ の分解の型（$e$, $f$, $g$ の組）が $\mathfrak{P}$ の選択に依存しないことの群論的な裏付けになっています。

高次分岐群

惰性群をさらに細かく分解することも可能です。$i\ge 0$ に対して、

$$G_i(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})=\{\sigma \in I(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})\mid v_{\mathfrak{P}}(\sigma (x)-x)\ge i+1,\forall x\in {\mathcal{O}}_L\}$$

と定義される $G_i$ を第 $i$ 分岐群（$i$-th ramification group）と呼びます。ここで $v_{\mathfrak{P}}$ は $\mathfrak{P}$ に付随する付値です。$G_0=I(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})$ であり、$G_0\supset G_1\supset G_2\supset \cdots$ という降鎖列が得られます。$G_1$ は野性分岐群（wild ramification group）と呼ばれ、その位数は $\mathfrak{P}$ の下の素数 $p$ の冪に等しくなります。

高次分岐群は局所的な分岐の「深さ」を測る道具であり、Serre の Local Fields や Neukirch の Algebraic Number Theory で詳しく扱われています。