空間ベクトルの内積と 2 直線のなす角（成分から cos の値へ）

$a = (1, 2, 2)$ と $b = (2, - 1, 2)$ の内積は $1 \times 2 + 2 \times (- 1) + 2 \times 2 = 4$ です。成分の積を足し合わせるところは平面と同じで、項が 1 つ増えた形。

なす角も、内積と長さから同じ式で求まります。

空間ベクトルの内積

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ の内積は、成分の積の和で決まります。

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

平面での $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ に、第 3 成分の積 $a_{3} b_{3}$ が加わった形。なす角 $θ$ との関係も平面と変わりません。

$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ$

大きさのほうも、成分の 2 乗の和の平方根です。

$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$

なす角の求め方

内積の定義式を $cos θ$ について解くと、成分だけで書けます。

$cos θ = \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2} + a _{3} b _{3}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + a _{3}^{2} b _{1}^{2} + b _{2}^{2} + b _{3}^{2}}$

計算の手順は平面と同じで、成分が 3 つに増えた形。

内積を成分で計算する

2 つのベクトルの大きさを求める

cos の式に入れて角を決める

例：2 つのベクトルのなす角

$a = (1, 2, 2)$ 、 $b = (2, - 1, 2)$ のなす角 $θ$ を求めます。

内積は $1 \times 2 + 2 \times (- 1) + 2 \times 2 = 2 - 2 + 4 = 4$ 。

大きさはそれぞれ $∣ a ∣ = 1 + 4 + 4 = 3$ 、 $∣ b ∣ = 4 + 1 + 4 = 3$ です。

$cos θ = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$

$\frac{4}{9}$ は有名角の値ではないため、答えは $cos θ = \frac{4}{9}$ の形のままにします。値が正なので、 $θ$ が鋭角であることは読める。

空間での垂直と平行

平面と同じく、内積が $0$ なら垂直、一方が他方の実数倍なら平行です。

垂直の条件

$a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$

平行の条件

$b = k a$ 、つまり $b_{1} : b_{2} : b_{3} = a_{1} : a_{2} : a_{3}$

平面では平行の判定に $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ を使いました。空間ではこの形が 2 つ必要になるので、成分の比がそろうかどうかで見るほうが速い。

例：垂直になる成分を求める

$a = (3, - 1, 2)$ と $b = (1, t, - 1)$ が垂直になる $t$ を求める。

垂直の条件は $a \cdot b = 0$ です。

$3 \times 1 + (- 1) \times t + 2 \times (- 1) 3 - t - 2 t = 0 = 0 = 1$

検算すると $3 - 1 - 2 = 0$ で、たしかに垂直になりました。

2 直線のなす角

空間の 2 直線のなす角は、それぞれの方向ベクトルのなす角として求めます。ただし直線には向きがないため、角は $0^{\circ}$ 以上 $9 0^{\circ}$ 以下でとる。

ベクトルのなす角は $0^{\circ}$ から $18 0^{\circ}$ まで動きます。 $9 0^{\circ}$ を超えたときは $18 0^{\circ}$ から引く。計算では $cos θ$ の絶対値をとれば済みます。

$cos α = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣ ∣ d _{2} ∣} (0^{\circ} \leq α \leq 9 0^{\circ})$

$d_{1}$ と $d_{2}$ のなす角が $12 0^{\circ}$ なら $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ですが、直線のなす角は $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ です。

$∣ cos 12 0^{\circ} ∣ = \frac{1}{2} = cos 6 0^{\circ}$ なので、絶対値をとるだけで鋭角の側に移る。

例：方向ベクトルから 2 直線のなす角を求める

$ℓ_{1}$ の方向ベクトルが $d_{1} = (1, 1, 0)$ 、 $ℓ_{2}$ の方向ベクトルが $d_{2} = (- 1, 0, 1)$ とします。

内積は $1 \times (- 1) + 1 \times 0 + 0 \times 1 = - 1$ 。大きさはどちらも $2$ です。

$cos θ = \frac{- 1}{2 \times 2} = - \frac{1}{2}$

ベクトルのなす角は $12 0^{\circ}$ ですが、直線のなす角は $9 0^{\circ}$ 以下でとるので $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ 。

はじめから $cos α = - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ として、 $α = 6 0^{\circ}$ と求めても同じです。

例：座標で与えられた 2 直線のなす角

$A (1, 0, 2)$ 、 $B (3, 1, 4)$ を通る直線と、 $C (0, 1, 1)$ 、 $D (2, 3, 0)$ を通る直線のなす角を求めます。

方向ベクトルは $A B = (2, 1, 2)$ と $C D = (2, 2, - 1)$ です。

内積は $4 + 2 - 2 = 4$ 。大きさはどちらも $4 + 1 + 4 = 3$ 、 $4 + 4 + 1 = 3$ になります。

$cos α = \frac{∣4∣}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$

内積が正なのでベクトルのなす角は鋭角で、絶対値をとっても値は変わりません。

例：平行かどうかを比で見る

$a = (2, - 4, 6)$ と $b = (- 3, 6, - 9)$ が平行かを調べる。

成分の比は $\frac{- 3}{2} = \frac{6}{- 4} = \frac{- 9}{6} = - \frac{3}{2}$ で、3 つともそろっています。

$b = - \frac{3}{2} a$ なので平行です。負の実数倍なので、向きは逆になります。

$a = (1, - 1, 1)$ と $b = (2, 1, - 1)$ のなす角 $θ$ について、 $cos θ$ の値はどれですか。

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
$0$
$- \frac{1}{3}$

__RESULT__

内積は $1 \times 2 + (- 1) \times 1 + 1 \times (- 1) = 2 - 1 - 1 = 0$ です。内積が $0$ なので $cos θ = 0$ 、つまり $θ = 9 0^{\circ}$ で 2 つのベクトルは垂直になります。

まちがえやすいところ

第 3 成分の符号を落とす形が、いちばん多い誤りです。平面にはなかった項なので、 $a_{3} b_{3}$ を書いてから足すと数が合いやすくなる。

2 直線のなす角では、絶対値のつけ忘れが目につきます。直線には向きがないため、 $12 0^{\circ}$ のような鈍角は答えになりません。

平行の判定では、成分の比を 3 つともそろえます。2 つだけ見て決めると、 $z$ 成分がずれた組を平行と読んでしまう。

内積は成分の積を足すだけ、なす角はそれを長さの積で割るだけ。項が 1 つ増えても、手順は平面のままです。

$\vec{a}=(1,\ 2,\ 2)$ と $\vec{b}=(2,\ -1,\ 2)$ の内積は $4$、長さはどちらも $3$ なので $\cos\theta=\dfrac{4}{9}$ です。成分の積を足すところは平面と同じで、項が 1 つ増えた形。空間の 2 直線のなす角は方向ベクトルのなす角として求めますが、直線に向きがないぶん $0^\circ$ から $90^\circ$ でとるため、$\cos$ に絶対値を付けます。$120^\circ$ が $60^\circ$ に移るのはそこ。垂直になる成分を求める型、座標で与えられた 2 直線、成分の比で平行を見る手順まで。