空間ベクトルの内積と 2 直線のなす角 - 高校数学での計算

平面ベクトルの内積は 2 次元の成分で計算しますが、空間ベクトルでは 3 次元に拡張されます。計算の構造は同じで、成分が 1 つ増えるだけです。空間での内積を使うと、2 直線のなす角を座標から直接求めることができます。

空間ベクトルの内積

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ の内積は

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

で定義されます。平面の場合の $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ に第 3 成分の積 $a_3{b}_3$ が加わった形です。

なす角 $\theta$（$0°\le \theta \le 180°$）との関係も平面と同様で

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

が成り立ちます。空間ベクトルの大きさは

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

です。

なす角の求め方

2 つのベクトルのなす角 $\theta$ は内積の定義式を変形して

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$$

で求まります。計算手順は平面の場合とまったく同じで、成分が 3 つに増えただけです。

空間での垂直条件と平行条件

平面の場合と同じく、空間でも内積がゼロなら垂直、一方が他方の実数倍なら平行です。

平行条件は平面のときの「たすき掛けの差がゼロ」ではなく、3 つの成分比が一致するかどうかで判定します。成分が 3 つになると 2 つの「たすき掛け」が必要になるため、成分比で確認するほうが実用的です。

例題 1：空間ベクトルのなす角

$\vec{a}=(1,2,2)$、$\vec{b}=(2,-1,2)$ のなす角 $\theta$ を求めます。

内積は

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 2+2\times (-1)+2\times 2=2-2+4=4$$

大きさはそれぞれ

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

$$|\vec{b}|=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$$

よって

$$\cos \theta =\frac{4}{3\times 3}=\frac{4}{9}$$

$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ です。この値は有名角にはなりませんが、$0<\frac{4}{9}<1$ なので $0°<\theta <90°$ の鋭角であることがわかります。

例題 2：垂直になる成分を求める

$\vec{a}=(3,-1,2)$ と $\vec{b}=(1,t,-1)$ が垂直であるとき、$t$ の値を求めます。

垂直条件 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ より

$$3\times 1+(-1)\times t+2\times (-1)=0$$

$$3-t-2=0$$

$$1-t=0$$

$$t=1$$

検算すると $\vec{a}\cdot \vec{b}=3-1-2=0$ で確かに垂直です。

2 直線のなす角

空間内の 2 直線のなす角は、それぞれの方向ベクトルのなす角として求めます。ただし、直線のなす角は $0°$ 以上 $90°$ 以下で定義される点に注意が必要です。

ベクトルのなす角 $\theta$ は $0°$ から $180°$ の範囲を取りますが、直線には向きがないため、$\theta >90°$ のときは $180°-\theta$ を採用します。実際の計算では $\cos \theta$ の絶対値を取れば済みます。

$$\cos \alpha =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}(0°\le \alpha \le 90°)$$

例題 3：2 直線のなす角を求める

直線 ${\ell }_1$ の方向ベクトルが $\overrightarrow{d_1}=(1,1,0)$、直線 ${\ell }_2$ の方向ベクトルが $\overrightarrow{d_2}=(-1,0,1)$ のとき、2 直線のなす角 $\alpha$ を求めます。

内積は

$$\overrightarrow{d_1}\cdot \overrightarrow{d_2}=1\times (-1)+1\times 0+0\times 1=-1$$

大きさは

$$|\overrightarrow{d_1}|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2},|\overrightarrow{d_2}|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

ベクトルのなす角の余弦は

$$\cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{-1}{2}$$

$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ より $\theta =120°$ ですが、直線のなす角は $90°$ 以下なので

$$\alpha =180°-120°=60°$$

あるいは $\cos \alpha =\left|\frac{-1}{2}\right|=\frac{1}{2}$ から直接 $\alpha =60°$ と求めることもできます。

例題 4：座標で与えられた 2 直線のなす角

点 $\mathrm{A}(1,0,2)$、$\mathrm{B}(3,1,4)$ を通る直線と、点 $\mathrm{C}(0,1,1)$、$\mathrm{D}(2,3,0)$ を通る直線のなす角を求めます。

方向ベクトルはそれぞれ

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,1,2),\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(2,2,-1)$$

内積は

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=4+2-2=4$$

大きさは

$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{4+1+4}=3,|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{4+4+1}=3$$

$$\cos \alpha =\frac{|4|}{3\times 3}=\frac{4}{9}$$

$\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$ です。内積が正なのでベクトルのなす角は鋭角であり、絶対値を取っても結果は変わりません。

空間の内積で注意する点

空間ベクトルの内積計算で間違いやすいのは、第 3 成分の符号の処理です。$a_3{b}_3$ の項は平面にはなかったため、計算途中で符号ミスが起きやすくなります。各成分の積を個別に書き出してから合計する習慣をつけると、ミスを減らせます。

また、2 直線のなす角を求めるときに $\cos \theta$ の絶対値を取り忘れると、$90°$ を超える角度を答えてしまうことがあります。「直線には向きがない」という点を意識して、最後に絶対値の処理を確認することが大切です。