積の微分と商の微分〜長方形の面積から公式を作る

$f(x)g(x)$ を微分するとき、$f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)$ とはなりません。片方だけを微分した項を $2$ つ作り、それを足します^[1]。

$$\{f(x)g(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

なぜ足し算が $2$ つ並ぶのか。長方形の面積で見ると、その理由がそのまま図になります。

$x$ が少し動くと、$2$ 辺がそれぞれ $\Delta f$ と $\Delta g$ だけ伸びます。増えた面積は、横長の帯と縦長の帯、そして隅の小さな長方形の $3$ つ^[1]。

隅の項だけが消える

$3$ つのうち、隅の $\Delta f\Delta g$ だけは小ささの桁が違います。$\Delta x$ を半分にすると帯は半分になりますが、隅は $4$ 分の $1$ になる。

割合の数字を見ると、$\Delta x$ が小さいほど隅の存在感が薄れていきます。$\Delta x$ で割ってから極限をとると、隅の項だけがきれいに消える。

定義から導く

面積の話を、そのまま式にします。$h(x)=f(x)g(x)$ とおいて差の商を作る。

$$\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}$$

分子に $f(x)g(x+\Delta x)$ を足して引きます。値は変わらないのに、$2$ つの差の商が現れる形に組み替えられる^[1]。

$$\begin{array}{rl}& =\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\end{array}$$

$\Delta x\to 0$ のとき $g(x+\Delta x)\to g(x)$ です。残るのが $f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ で、公式が出ました。

例：$x^2\sin x$ を微分する

$f(x)=x^2$、$g(x)=\sin x$ と見ます。$f^{\prime }(x)=2x$、$g^{\prime }(x)=\cos x$。

$$y^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$$

共通因数の $x$ でくくると $x(2\sin x+x\cos x)$ になります。増減を調べるときは、この形のほうが符号を読みやすい。

例：$e^x\log x$ を微分する

指数関数と対数関数の積です。どちらの微分も形が決まっているので、代入するだけ^[2]。

$$y^{\prime }=e^x\log x+e^x\cdot \frac{1}{x}=e^x\left(\log x+\frac{1}{x}\right)$$

$e^x$ が両方の項に現れるため、くくり出しが自然に効きます。定義域は $x>0$ のまま変わりません。

例：係数のある積を微分する

$y=5x^3\sin x$ のように定数が付いても、扱いは同じです^[3]。定数は微分の外へ出せます。

$$y^{\prime }=15x^2\sin x+5x^3\cos x$$

$5$ を先に外へ出し、$x^3\sin x$ だけを積の公式で処理しても同じ結果。手順の順番は自由です。

3 つ以上の積

積が $3$ つ並んでも、考え方は変わりません。$1$ つだけ微分して残りはそのまま、という項を全部作って足します。

$$\{fgh{\}}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }$$

$4$ つなら項は $4$ つ。$n$ 個の積なら $n$ 項になり、どの項も微分されているのは $1$ つだけ。

商の微分法

分数の形は、分子の微分が先に立つ引き算になります。

$${\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}$$

積の公式との違いは $2$ つ。符号が引き算になる点と、分母が $2$ 乗になる点です。

順番を入れ替えると符号が反対になります。分子の微分から書き始める、と決めておくと崩れにくい。

商の公式を積から作る

覚える公式を増やしたくないなら、積の公式から導けます。$\frac{f}{g}=f\cdot g^{-1}$ と見るところが出発点。

$g^{-1}$ の微分は合成関数の公式から $-\frac{g^{\prime }}{g^2}$ です。これを積の公式に入れます。

$$\begin{array}{rl}{\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)}^{\prime }& =f^{\prime }\cdot \frac{1}{g}+f\cdot \left(-\frac{g^{\prime }}{g^2}\right)\\ & =\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

積と合成の $2$ つを知っていれば、商は自動的に出てくる。独立した $3$ つ目の公式ではありません。

例：$\frac{\sin x}{x}$ を微分する

$f(x)=\sin x$、$g(x)=x$ とおきます。

$$y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$

分子を展開したままにせず、そのまま残すほうが扱いやすい。$x\to 0$ での様子を調べるときも、この形から出発します。

例：$\frac{e^x}{1+x^2}$ を微分する

分母が $2$ 次式でも手順は変わりません。分子の微分から書きます。

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{e^x(1+x^2)-e^x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}\\ & =\frac{e^x(1-2x+x^2)}{(1+x^2{)}^2}=\frac{e^x(1-x{)}^2}{(1+x^2{)}^2}\end{array}$$

分子が完全平方になりました。$(1-x{)}^2\ge 0$ と $e^x>0$ から、この関数は増え続けると分かる。

因数分解できないか確かめる習慣があると、こうした情報を拾えます。展開したままでは符号が見えません。

例：$\frac{\cos x}{4x^2}$ を微分する

分母に係数と $2$ 乗が入った形です^[3]。

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{-\sin x\cdot 4x^2-\cos x\cdot 8x}{16x^4}\\ & =\frac{-x\sin x-2\cos x}{4x^3}\end{array}$$

分子と分母から $4x$ を約分しました。約分を最後に回すと、次数の大きい分数のまま計算を続けることになります。

分子が 1 の形

$f(x)=1$ とした場合は、よく使うので形で覚えておくと速い。

$${\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}$$

$y=\frac{1}{\cos x}$ なら $y^{\prime }=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$、$y=\frac{1}{x^2+1}$ なら $y^{\prime }=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$ です。

積と商が混ざる形

実際の問題では、積と商が組み合わさった関数が出てきます。$y=\frac{x^2{e}^x}{\sin x}$ を例にとります。

分子 $x^2{e}^x$ の微分は $2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(2+x)$ です。これを商の公式へ入れます。

$$y^{\prime }=\frac{x{e}^x(2+x)\sin x-x^2{e}^x\cos x}{{\sin }^{2}x}$$

分子から $x{e}^x$ をくくり出すと見通しがよくなる。

$$y^{\prime }=\frac{x{e}^x\{(2+x)\sin x-x\cos x\}}{{\sin }^{2}x}$$

段階を分けて処理すれば、見た目の複雑さに関係なく機械的に進みます。

よくある誤り

積の公式は面積、商の公式は積と合成の組み合わせ。どちらも成り立ちを一度たどっておくと、記憶があいまいになっても自力で戻せます。

参考文献