すべての実数で成り立つ二次不等式 - 係数と判別式の条件

「 $a x^{2} + b x + c > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ」は、放物線が $x$ 軸より上にいたままだという意味です。

この一文を式に直すと、条件が 2 本になる。

$a > 0 かつ D < 0$

上を向いていること。 $x$ 軸に触れないこと。どちらが欠けても、上にいたままにはなりません。

2 本はそれぞれ別の仕事をしている

$a > 0$ は放物線の開く向きを決める。上向きなら、両端が上へ伸びます。

$D < 0$ は $x$ 軸と交わらないことを決める。交点があると、そこを境に符号が変わってしまいます。

片方だけでは足りません。 $a > 0$ でも $D > 0$ なら $x$ 軸を切って一部が下へ沈み、 $D < 0$ でも $a < 0$ ならまるごと下に沈みます。

4 つの形を並べる

不等号が変われば、 $a$ の符号と $D$ の条件が入れ替わる。

条件	$a$	$D$
つねに $> 0$	$a > 0$	$D < 0$
つねに $\geq 0$	$a > 0$	$D \leq 0$
つねに $< 0$	$a < 0$	$D < 0$
つねに $\leq 0$	$a < 0$	$D \leq 0$

等号がつくと $D = 0$ が許されます。接するだけなら値が $0$ になるところが 1 点あるだけで、 $\geq 0$ は満たされる。

$> 0$ のほうは $0$ を許さないため、接することもできません。等号ひとつで、 $D$ の側の等号が動きます。

例：定数の範囲を求める

$x^{2} + k x + 3 > 0$ がすべての実数で成り立つ $k$ を求めます。

$x^{2}$ の係数は $1$ で、 $a > 0$ はすでに満たされている。残るのは $D < 0$ のほう。

$D = k^{2} - 12 < 0, k^{2} < 12, - 23 < k < 23$

$23$ はおよそ $3.46$ 。 $k = 3$ なら $x^{2} + 3 x + 3$ で $D = 9 - 12 = - 3$ となり、たしかに交わらない。

$k = 4$ で試すと $D = 16 - 12 = 4 > 0$ 。 $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$ で、 $- 3 < x < - 1$ のあいだが負になります。範囲の外に出ると条件が崩れました。

例：二次の係数に文字が入る場合

$k x^{2} + 2 k x + 3 > 0$ がすべての実数で成り立つ $k$ を求めます。

$x^{2}$ の係数が $k$ なので、 $k = 0$ かどうかで話が分かれる。二次式でなくなる場合を先に見ておきます。

$k = 0$ を入れると $3 > 0$ で、 $x$ が消えていつでも成り立ちます。この場合は答えに入る。

$k \neq = 0$ なら二次式で、条件は 2 本。

$k > 0 かつ \frac{D}{4} = k^{2} - 3 k < 0$

$k (k - 3) < 0$ から $0 < k < 3$ 。 $k > 0$ とあわせても $0 < k < 3$ のまま。

$k = 0$ の場合と合わせて、答えは $0 \leq k < 3$ になります。

$k = 0$ を見落とすと、答えが $0 < k < 3$ になって $1$ 点ぶん狭くなります。二次の係数に文字があるときは、そこが $0$ になる場合を先に別立てにしておく。

$k x^{2} - 4 x + k < 0$ がすべての実数で成り立つ $k$ の範囲はどれですか。

$k < - 2$ または $k > 2$
$k < - 2$
$- 2 < k < 2$

__RESULT__

つねに負なので $k < 0$ かつ $D < 0$ です。 $D = 16 - 4 k^{2} < 0$ から $k^{2} > 4$ で $k < - 2$ または $k > 2$ 。 $k < 0$ とあわせて $k < - 2$ だけが残ります。 $k = 0$ のときは $- 4 x < 0$ となり、 $x < 0$ で崩れる。

例：2 つのグラフの上下として読む

「 $y = x^{2} + 1$ のグラフが $y = 2 x + k$ より上にある」も、同じ形に持ちこめます。

差を作って移項するだけ。

$x^{2} + 1 > 2 x + k, x^{2} - 2 x + 1 - k > 0$

これがすべての実数で成り立つ条件を書く。 $x^{2}$ の係数は $1$ で正だから、残るのは判別式です。

$\frac{D}{4} = 1 - (1 - k) = k < 0$

答えは $k < 0$ 。 $k = - 1$ なら $x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1$ でつねに正、 $k = 0$ なら $(x - 1)^{2}$ となって $x = 1$ で $0$ になり、 $> 0$ が崩れます。

検算は 1 点の代入で足りる

条件から $k$ を 1 つ選んで、もとの不等式に入れる。すべての実数で成り立つはずなので、どの $x$ を試しても崩れません。

$- 23 < k < 23$ という答えなら、 $k = 0$ をとって $x^{2} + 3 > 0$ 。 $x = 0$ でも $x = 100$ でも成り立ちます。

範囲の外からも 1 つ選びます。 $k = 4$ なら $x^{2} + 4 x + 3 > 0$ で、 $x = - 2$ を入れると $4 - 8 + 3 = - 1$ 。崩れました。

範囲の内で成り立ち、外で崩れる。この 2 点を見れば、境目の位置まで確かめられます。

$x^{2} + 2 x + k \geq 0$ がすべての実数で成り立つ $k$ の範囲はどれですか。

$k \geq 1$
$k > 1$
$k \leq 1$

__RESULT__

$a = 1 > 0$ はすでに満たされていて、残るのは $D \leq 0$ です。 $\frac{D}{4} = 1 - k \leq 0$ から $k \geq 1$ 。等号つきの $\geq 0$ では接してもよいため、 $D = 0$ にあたる $k = 1$ も答えに入ります。

条件は $a$ の符号と $D$ の符号の 2 本。 $x^{2}$ の係数に文字があれば、そこが $0$ になる場合を独立して立てる。この 3 か所を押さえれば、あとは判別式の計算になります。

「$ax^2+bx+c>0$ がすべての実数で成り立つ」は、放物線が $x$ 軸より上にいたままという意味。式にすると $a > 0$ かつ $D < 0$ の 2 本になります。$a>0$ が開く向きを、$D<0$ が交わらないことを引き受けていて、片方だけでは $x$ 軸を切る形やまるごと沈む形が混じる。等号がつくと $D \leq 0$ に緩み、接することが許されます。$kx^2+2kx+3>0$ のように $x^2$ の係数に文字があるときは、$k=0$ で二次式でなくなる場合を別に立てて $0 \leq k < 3$。2 つのグラフの上下として読む形まで。