二次不等式が「すべての実数で成り立つ」条件 - 判別式と係数の符号

「 $a x^{2} + b x + c > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような $a$ の範囲を求めよ」のように、不等式が常に成立する条件を問う問題があります。このタイプの問題では、グラフが $x$ 軸と交わらない（または接しない）ことを判別式で表現するのがポイントです。

「常に正」であるための条件

$a x^{2} + b x + c > 0$ がすべての実数で成り立つとは、放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ が $x$ 軸より常に上にあるということです。この状況が起きるためには 2 つの条件を同時に満たす必要があります。

下に凸であること（

a > 0

）

上に凸の放物線はどこかで必ず $x$ 軸の下に入るため、常に正にはなれません。したがって $a > 0$ が必須です。

x

軸と交わらないこと（

D < 0

）

$x$ 軸と交点をもつと、その付近で $y$ が $0$ 以下になります。交わらないためには判別式 $D = b^{2} - 4 a c < 0$ が必要です。

この 2 条件をまとめると、 $a x^{2} + b x + c > 0$ がすべての実数で成り立つ条件は

$a > 0 かつ D < 0$

です。 $a > 0$ を忘れて $D < 0$ だけを書くのはよくある間違いなので注意が必要です。 $a < 0$ かつ $D < 0$ だと放物線全体が $x$ 軸の下にあり、常に負になってしまいます。

「常に負」であるための条件

同様に、 $a x^{2} + b x + c < 0$ がすべての実数で成り立つ条件は

$a < 0 かつ D < 0$

となります。上に凸の放物線が $x$ 軸と交わらなければ、グラフ全体が $x$ 軸の下にとどまるためです。

常に正（

> 0

）

$a > 0$ かつ $D < 0$

常に負（

< 0

）

$a < 0$ かつ $D < 0$

どちらも $D < 0$ は共通で、違いは $a$ の符号だけです。

等号を含む場合（ $\geq 0$ , $\leq 0$ ）

$a x^{2} + b x + c \geq 0$ がすべての実数で成り立つ条件はどう変わるでしょうか。 $\geq$ は $y = 0$ も許容するため、放物線が $x$ 軸に接する場合（ $D = 0$ ）も含まれます。

不等式の形	条件
常に $> 0$	$a > 0$ かつ $D < 0$
常に $\geq 0$	$a > 0$ かつ $D \leq 0$
常に $< 0$	$a < 0$ かつ $D < 0$
常に $\leq 0$	$a < 0$ かつ $D \leq 0$

$D = 0$ のとき放物線は $x$ 軸にちょうど接するので、接点で $y = 0$ になります。厳密な不等号（ $>$ , $<$ ）ではその点が条件を満たしませんが、等号つき（ $\geq$ , $\leq$ ）なら $y = 0$ でも成立するため $D = 0$ を許容できるわけです。

具体的な問題の解き方

$x^{2} + 2 a x + a + 6 > 0$ がすべての実数で成り立つような定数 $a$ の範囲を求めてみます。

二次の係数は $1 > 0$ なので $a > 0$ の条件はすでに満たされています。あとは判別式を計算して $D < 0$ を立てるだけです。

$D = (2 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a + 6) = 4 a^{2} - 4 a - 24$

$D < 0$ より

$4 a^{2} - 4 a - 24 < 0$

両辺を $4$ で割って $a^{2} - a - 6 < 0$ とし、左辺を因数分解すると $(a - 3) (a + 2) < 0$ です。これを解くと $- 2 < a < 3$ が得られます。

ここで元の二次式の $x^{2}$ の係数が $1$ （正の定数）であることがカギになっています。もし二次の係数にも $a$ が含まれていたら、 $a > 0$ の条件も別途考慮しなければなりません。

二次の係数が文字を含む場合は場合分けが必要になることがある。

二次の係数に文字が含まれるケース

$a x^{2} + 4 x + a > 0$ がすべての実数で成り立つ条件を考えます。このとき二次の係数自体が $a$ なので、 $a > 0$ という条件が自明ではなくなります。

まず $a > 0$ が必要です。次に判別式を計算すると

$D = 16 - 4 a^{2}$

$D < 0$ より $16 - 4 a^{2} < 0$ 、つまり $a^{2} > 4$ となり $a < - 2$ または $a > 2$ です。 $a > 0$ と合わせると、答えは $a > 2$ です。

$x^{2} - 4 x + k > 0$ がすべての実数で成り立つような $k$ の範囲はどれですか？

$k > 0$
$k > 4$
$k \geq 4$
$k > - 4$

__RESULT__

二次の係数は $1 > 0$ なので、 $D = 16 - 4 k < 0$ を解きます。 $4 k > 16$ より $k > 4$ です。等号なし（ $>$ ）の不等式なので $D < 0$ （ $D = 0$ は含めない）となり、 $k > 4$ が正解です。

$a = 0$ のケースに注意

「 $a x^{2} + b x + c > 0$ がすべての実数で成り立つ」という問題で $a = 0$ が起こりうる場合、式は $b x + c > 0$ という一次不等式になります。一次不等式がすべての実数で成り立つことは（ $b \neq = 0$ なら）不可能なので、 $a = 0$ は条件を満たしません。ただし、問題文で $a \neq = 0$ が明記されていれば、このケースを考える必要はありません。