デデキントゼータ関数｜代数的整数論

リーマンゼータ関数 $\zeta (s)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ は素数の分布を支配する関数として知られていますが、これを一般の数体に拡張したものがデデキントゼータ関数です。素数の代わりに素イデアルを、自然数の代わりに整イデアルを用いることで、数体の算術的構造を解析的に捉える道具が手に入ります。

定義

$K$ を代数体、${\mathcal{O}}_K$ をその整数環とします。$K$ のデデキントゼータ関数は、$\mathrm{Re}(s)>1$ において次のディリクレ級数で定義されます。

$${\zeta }_K(s)=\sum _{\mathfrak{a}\ne 0}\frac{1}{N(\mathfrak{a}{)}^s}$$

ここで和は ${\mathcal{O}}_K$ の非零整イデアル $\mathfrak{a}$ 全体にわたり、$N(\mathfrak{a})=|{\mathcal{O}}_K/\mathfrak{a}|$ はイデアルのノルムです。$K=\mathbb{Q}$ のときは非零整イデアルが $(n)$（$n\ge 1$）に限られ $N((n))=n$ なので、${\zeta }_{\mathbb{Q}}(s)=\zeta (s)$ となります。

級数の収束は、ノルムが $N$ 以下の整イデアルの個数が $O(N)$ で抑えられることから従います。より精密には、イデアルの個数の漸近公式

$$\#\{\mathfrak{a}\subset {\mathcal{O}}_K\mid N(\mathfrak{a})\le N\}\sim c_K\cdot N(N\to \infty )$$

が成り立ち（$c_K$ は $K$ に依存する定数）、これにより $\mathrm{Re}(s)>1$ での絶対収束が保証されます。

オイラー積

素イデアル分解の一意性から、${\zeta }_K(s)$ はオイラー積に展開できます。

$${\zeta }_K(s)=\prod _{\mathfrak{p}}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p}{)}^{-s}}$$

ここで積は ${\mathcal{O}}_K$ のすべての素イデアル $\mathfrak{p}$ にわたります。この等式の導出は $\mathbb{Z}$ の場合とまったく同様で、各整イデアルが素イデアルの積に一意的に書けることと、ノルムの乗法性 $N(\mathfrak{ab})=N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b})$ を用います。

オイラー積表示は $\mathrm{Re}(s)>1$ で ${\zeta }_K(s)\ne 0$ であることを直ちに意味します。また、${\zeta }_K(s)$ の各因子が個々の素イデアルに対応しているため、素イデアルの分布に関する情報がゼータ関数の解析的性質に反映されます。

有理素数ごとの分解

オイラー積を有理素数 $p$ ごとにまとめることができます。$p{\mathcal{O}}_K={\mathfrak{p}}_1^{e_1}\cdots {\mathfrak{p}}_g^{e_g}$ と素イデアル分解し、$N({\mathfrak{p}}_i)=p^{f_i}$ とすると、

$$\prod _{i=1}^g\frac{1}{1-p^{-f_{i}s}}$$

が素数 $p$ に対応する因子です。$K/\mathbb{Q}$ が Galois 拡大で $e_i=e$, $f_i=f$ がすべて等しい場合、これは $(1-p^{-fs}{)}^{-g}$ と簡潔になります。

たとえば $K=\mathbb{Q}(i)$（ガウス整数の商体）の場合、$p$ が $K$ でどう分解するかに応じてゼータ関数の因子は次のようになります。

${\zeta }_K(s)$ とリーマンゼータ関数の関係

$K/\mathbb{Q}$ が次数 $n$ のアーベル拡大であるとき、${\zeta }_K(s)$ はリーマンゼータ関数とディリクレ $L$ 関数の積に分解します。具体的には、導手 $\mathfrak{f}$ に対応するディリクレ指標 $\chi$ を用いて

$${\zeta }_K(s)=\prod _{\chi }L(s,\chi )$$

と書けます。ここで積は $K$ に対応する指標群の元すべてにわたります。

$K=\mathbb{Q}(i)$ の場合、$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、対応する指標は自明指標 ${\chi }_0$ と ${\chi }_{-4}$（${\chi }_{-4}(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)$）の 2 つです。したがって

$${\zeta }_{\mathbb{Q}(i)}(s)=\zeta (s)\cdot L(s,{\chi }_{-4})$$

が成り立ちます。惰性素数 $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ に対して $(1-p^{-2s}{)}^{-1}=(1-p^{-s}{)}^{-1}(1+p^{-s}{)}^{-1}$ と分解される部分が、$\zeta (s)$ と $L(s,{\chi }_{-4})$ の対応する因子に振り分けられていることが確認できます。

一般のアーベル拡大でもこの分解が成り立つことは、類体論の帰結です。非アーベルの場合は $L$ 関数がアルティン $L$ 関数に置き換わります。

解析接続と関数等式

${\zeta }_K(s)$ は $\mathrm{Re}(s)>1$ での定義から $s=1$ に 1 位の極をもつ有理型関数として $\mathbb{C}$ 全体に解析接続されます。

関数等式を記述するために、完備化ゼータ関数 ${\Lambda }_K(s)$ を導入します。$r_1$ を $K$ の実埋め込みの個数、$r_2$ を複素共役ペアの個数、$d_K$ を判別式、$n=[K:\mathbb{Q}]=r_1+2r_2$ とするとき、

$${\Lambda }_K(s)=|d_K{|}^{s/2}{\left({\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\right)}^{r_1}{\left((2\pi {)}^{-s}\Gamma (s)\right)}^{r_2}{\zeta }_K(s)$$

と定めると、関数等式

$${\Lambda }_K(s)={\Lambda }_K(1-s)$$

が成立します。$K=\mathbb{Q}$ のときは $r_1=1$, $r_2=0$, $|d_K|=1$ であり、${\Lambda }_{\mathbb{Q}}(s)={\pi }^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)$ となって、リーマンゼータ関数の関数等式 $\xi (s)=\xi (1-s)$ が回復されます。

関数等式の証明にはいくつかのアプローチがあり、ヘッケによるテータ関数を用いた方法と、テイトによるアデール上のポアソン和公式を用いた方法が代表的です。テイトの方法は Cassels–Fröhlich 編 Algebraic Number Theory の第 XV 章（テイトの学位論文）で展開されています。

$s=1$ での留数と類数公式

${\zeta }_K(s)$ の最も重要な解析的性質の一つは、$s=1$ における極の留数が $K$ の算術的不変量で表されるという事実です。

$$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi {)}^{r_2}{h}_K{R}_K}{w_K\sqrt{|d_K|}}$$

この公式は解析的類数公式と呼ばれ、${\zeta }_K(s)$ という解析的対象の特異性が、類数 $h_K$ やレギュレーター $R_K$ といった代数的・幾何的不変量に直結していることを示しています。

二次体での具体例

虚二次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の場合、$r_1=0$, $r_2=1$, $d_K=-20$, $w_K=2$ です。${\zeta }_K(s)=\zeta (s)\cdot L(s,{\chi }_{-20})$ と分解されるので、類数公式の留数から

$$h_K=\frac{w_K\sqrt{|d_K|}}{2^{r_1}(2\pi {)}^{r_2}{R}_K}\cdot \underset{s\to 1}{\lim }(s-1){\zeta }_K(s)$$

が得られます。虚二次体では $R_K=1$（ディリクレの単数定理より自由部分の階数が 0）なので計算が単純化され、$h_K=2$ が導かれます。この値は $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で一意分解が成り立たないこと（$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$）と整合しています。

実二次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の場合は $r_1=2$, $r_2=0$, $d_K=5$, $w_K=2$ で、レギュレーター $R_K=\log \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ が非自明な値をもちます。類数公式から $h_K=1$ が得られ、$\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ が一意分解整域であることが解析的に証明されます。

ゼータ関数の零点

関数等式 ${\Lambda }_K(s)={\Lambda }_K(1-s)$ から、${\zeta }_K(s)$ はガンマ関数の極に対応する点（$s=0,-1,-2,\dots$ の一部）に自明な零点をもちます。それ以外の零点はすべて臨界帯 $0<\mathrm{Re}(s)<1$ に含まれます。

GRH は未解決ですが、仮定すると素イデアル定理の誤差項の改良や類数の下からの評価など、多くの深い結果が得られます。

${\zeta }_K(s)$ の特殊値

${\zeta }_K(s)$ の負の整数点での値は $K$ の算術的情報を反映します。たとえば ${\zeta }_K(0)$ は類数と単数群に関係し、

$${\zeta }_K(0)=-\frac{h_K{R}_K}{w_K}$$

が成り立ちます（$r_1+r_2-1>0$ のとき ${\zeta }_K(0)$ 自体は消えるが、テイラー展開の主要項にこの値が現れる）。さらに、${\zeta }_K(-1)$ は $K$ 上の楕円曲線やモジュラー形式との関連で現れ、リヒテンバウムの予想やブロッホ・加藤予想といった現代的な研究へとつながっています。

デデキントゼータ関数の全体像は Neukirch の Algebraic Number Theory の第 VII 章、テイトの手法による関数等式の導出は Lang の Algebraic Number Theory の第 XIV–XV 章で詳しく扱われています。