高校数学 - たすき掛けによる因数分解のやり方

$x^{2}$ の係数が 1 である 2 次式、たとえば $x^{2} + 5 x + 6$ なら、掛けて 6・足して 5 になる 2 数を見つけるだけで因数分解できます。しかし $2 x^{2} + 7 x + 3$ のように $x^{2}$ の係数が 1 でない場合、同じ方法では対応できません。こうした式を因数分解する手法がたすき掛けです。

たすき掛けの考え方

$a x^{2} + b x + c$ の形をした 2 次式を $(p x + q) (r x + s)$ に分解することを考えます。この積を展開すると次のようになります。

$(p x + q) (r x + s) = p r x^{2} + (p s + q r) x + q s$

元の式と係数を比較すると、 $p r = a$ 、 $q s = c$ 、 $p s + q r = b$ という 3 つの条件が得られます。たすき掛けとは、 $a$ と $c$ をそれぞれ 2 数の積に分解し、交差した積の和が $b$ に一致する組み合わせを見つける手法です。

名称の由来は、 $p, q$ と $r, s$ を上下に並べて斜めに掛け算する図が、たすき（X の形に交差した帯）に似ていることからきています。

和服の袖をまとめるために背中で交差させて結ぶ紐のこと。

具体的な手順

$2 x^{2} + 7 x + 3$ を例に、たすき掛けの手順を見ていきます。

まず $x^{2}$ の係数 2 を 2 数の積に分解します。 $2 = 1 \times 2$ の 1 通りしかありません。次に定数項 3 を 2 数の積に分解します。 $3 = 1 \times 3$ の 1 通りです（符号はあとで考えます）。

ここで $p = 1, r = 2$ と $q, s$ の組み合わせについて、交差した積の和 $p s + q r$ を計算します。

$p, r$	$q, s$	$p s + q r$
$1, 2$	$1, 3$	$1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 5$
$1, 2$	$3, 1$	$1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 7$

2 行目の組み合わせで $p s + q r = 7$ となり、 $x$ の係数と一致しました。したがって $p = 1, r = 2, q = 3, s = 1$ と定まり、次のように因数分解できます。

$2 x^{2} + 7 x + 3 = (x + 3) (2 x + 1)$

検算してみます。 $(x + 3) (2 x + 1) = 2 x^{2} + x + 6 x + 3 = 2 x^{2} + 7 x + 3$ となり、元の式と一致するので正しい結果です。

負の係数を含む場合

$3 x^{2} - 10 x + 8$ を因数分解してみます。 $x^{2}$ の係数は 3、定数項は 8 です。

$3 = 1 \times 3$ 、 $8 = 1 \times 8 = 2 \times 4$ と分解できます。 $x$ の係数が $- 10$ で負なので、 $q$ と $s$ も負の値を試す必要があります。定数項 $q s$ が正で $p s + q r$ が負になるのは、 $q$ と $s$ がともに負の場合です。

$p, r$	$q, s$	$p s + q r$
$1, 3$	$- 2, - 4$	$- 4 + (- 6) = - 10$
$1, 3$	$- 4, - 2$	$- 2 + (- 12) = - 14$
$1, 3$	$- 1, - 8$	$- 8 + (- 3) = - 11$

1 行目で $p s + q r = - 10$ が得られました。よって次のように分解できます。

$3 x^{2} - 10 x + 8 = (x - 2) (3 x - 4)$

定数項が負の場合

$6 x^{2} + x - 2$ のように定数項が負のケースも見てみます。 $q s = - 2$ なので、 $q$ と $s$ は異符号になります。

$6 = 1 \times 6 = 2 \times 3$ と分解できるため、 $p, r$ の候補が複数あります。こういう場合は組み合わせが増えますが、順番に試していけば必ず見つかります。

$p, r$	$q, s$	$p s + q r$
$2, 3$	$1, - 1$	$- 2 + 3 = 1$
$2, 3$	$- 1, 1$	$2 + (- 3) = - 1$

1 行目で $p s + q r = 1$ となり、 $x$ の係数と一致しました。

$6 x^{2} + x - 2 = (2 x + 1) (3 x - 1)$

このように定数項が負の場合は、 $q$ と $s$ の符号の割り当てに注意が必要です。

たすき掛けがうまくいかないとき

すべての組み合わせを試しても $x$ の係数に一致するものが見つからない場合、その式は整数の範囲では因数分解できません。たとえば $2 x^{2} + 3 x + 2$ は、どの組み合わせでも $x$ の係数 3 を作れないため、有理数の範囲では因数分解不可能です。

組み合わせを効率よく探すコツ

$x^{2}$ の係数と定数項の分解パターンが多いほど試す回数が増えます。まず分解パターンの少ないほうから始めると、早く正解にたどり着けます。たとえば $x^{2}$ の係数が素数なら分解は 1 通りしかないので、定数項側の組み合わせだけ考えれば十分です。

符号の決め方

$p s + q r$ の符号は $q, s$ の符号で決まります。定数項 $q s$ が正なら $q, s$ は同符号、 $q s$ が負なら $q, s$ は異符号です。この判断を最初に済ませておくと、不要な組み合わせを省略できます。

$4 x^{2} - 11 x + 6$ をたすき掛けで因数分解した結果として正しいものはどれですか？

$(2 x - 3) (2 x - 2)$
$(4 x - 2) (x - 3)$
$(x - 2) (4 x - 3)$
$(2 x - 1) (2 x - 6)$

__RESULT__

$4 = 1 \times 4$ 、 $6 = 2 \times 3$ とし、 $q, s$ はともに負です。 $p = 1, r = 4, q = - 2, s = - 3$ のとき $p s + q r = - 3 + (- 8) = - 11$ で一致します。よって $(x - 2) (4 x - 3)$ が正解です。