二次不等式で重解をもつ場合の解の書き方

二次方程式が重解をもつとき、対応する二次不等式の解は通常のパターンとは異なる書き方になります。放物線が $x$ 軸に「接する」という特殊な状況を正しく処理できるかどうかが問われるポイントです。

重解とは何か

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の判別式が $D = 0$ のとき、方程式は重解をもちます。因数分解すると $a (x - p)^{2} = 0$ の形になり、解は $x = p$ の 1 つだけです。グラフで見ると、放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ が $x$ 軸にちょうど 1 点で接している状態に対応します。

通常の二次不等式（ $D > 0$ ）では 2 つの交点が境界となり、その間や外側が解になりますが、重解のケースでは接点 1 つしかないため、解の形が変わります。

$a > 0$ （下に凸）で重解のとき

$y = a (x - p)^{2}$ で $a > 0$ の場合を考えます。このグラフは $x = p$ で $x$ 軸に接し、それ以外のすべての点で $y > 0$ です。接点では $y = 0$ になります。

(x - p)^{2} > 0

の解

$x \neq = p$ であるすべての実数です。 $x = p$ では左辺が $0$ になるため $> 0$ を満たしません。

(x - p)^{2} \geq 0

の解

すべての実数です。平方は常に $0$ 以上なので、どんな $x$ を代入しても成り立ちます。

(x - p)^{2} < 0

の解

解なしです。平方が負になることはありません。

(x - p)^{2} \leq 0

の解

$x = p$ のみです。 $(x - p)^{2} = 0$ を満たすのはこの 1 点だけです。

特に $(x - p)^{2} > 0$ の解が「 $x \neq = p$ であるすべての実数」となる点は独特です。 $x < p$ または $x > p$ と書いても同じ意味ですが、 $x \neq = p$ と書くのがもっとも簡潔で正確な表現になります。

具体例で確認する

$x^{2} - 6 x + 9 \leq 0$ を解きます。左辺を因数分解すると $(x - 3)^{2} \leq 0$ です。 $(x - 3)^{2}$ は常に $0$ 以上なので、 $\leq 0$ を満たすのは $(x - 3)^{2} = 0$ のときだけです。

したがって解は $x = 3$ です。

解が 1 点だけというのは二次不等式の中でもやや特殊なケースです。区間ではなく点が答えになるので、解答では $x = 3$ と等号を使って書きます。 $3 \leq x \leq 3$ と書いても間違いではありませんが、冗長なので $x = 3$ とするのが普通です。

不等式の解が区間ではなく 1 点になる唯一のパターン。

$a < 0$ （上に凸）で重解のとき

$y = a (x - p)^{2}$ で $a < 0$ の場合、グラフは上に凸で $x = p$ で $x$ 軸に接します。接点以外ではすべて $y < 0$ です。

不等式	解
$a (x - p)^{2} > 0$ （ $a < 0$ ）	解なし
$a (x - p)^{2} \geq 0$ （ $a < 0$ ）	$x = p$
$a (x - p)^{2} < 0$ （ $a < 0$ ）	$x \neq = p$
$a (x - p)^{2} \leq 0$ （ $a < 0$ ）	すべての実数

$a > 0$ のときと比べると、 $>$ と $<$ の結果がちょうど入れ替わっています。グラフが $x$ 軸の上にあるか下にあるかが反転するためです。

等号の有無が結論を大きく変える

重解のケースでは等号の有無で結論が「解なし」と「すべての実数」のように劇的に変わることがあります。

(x - 3)^{2} > 0

$x \neq = 3$ であるすべての実数

(x - 3)^{2} \geq 0

すべての実数

$>$ ではたった 1 点 $x = 3$ だけが除かれ、 $\geq$ では除かれる点がなくなります。同様に

(x - 3)^{2} < 0

解なし

(x - 3)^{2} \leq 0

$x = 3$ のみ

$<$ では解が 1 つもないのに対し、 $\leq$ では 1 点だけ解が存在します。重解のときほど等号の確認が重要になるのはこのためです。

係数が 1 でない場合

$4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 0$ を解いてみます。左辺を因数分解すると $(2 x - 3)^{2} \leq 0$ です。平方は常に $0$ 以上なので、 $\leq 0$ を満たすのは $(2 x - 3)^{2} = 0$ すなわち $x = \frac{3}{2}$ のときだけです。

もう 1 つ、 $- x^{2} + 4 x - 4 > 0$ を考えます。 $- 1$ を掛けると $x^{2} - 4 x + 4 < 0$ 、つまり $(x - 2)^{2} < 0$ です。平方が負になることはないので、解なしです。元の式で直接考えても $- (x - 2)^{2} > 0$ なので同じ結論に至ります。

$x^{2} + 10 x + 25 > 0$ の解として正しいものはどれですか？

すべての実数
$x \neq = - 5$
$x > - 5$
解なし

__RESULT__

$(x + 5)^{2} > 0$ です。 $(x + 5)^{2}$ は常に $0$ 以上で、 $0$ になるのは $x = - 5$ のときだけです。 $> 0$ （等号なし）なので $x = - 5$ は除外され、解は $x \neq = - 5$ です。

重解の見落としを防ぐには

重解かどうかを確認する最も確実な方法は判別式を計算することです。 $D = 0$ であれば重解で、上で述べた特殊パターンに入ります。

因数分解の段階で $(x - p)^{2}$ の形が現れたら重解だとすぐにわかりますが、因数分解が難しい場合は判別式を計算して確認するのが安全です。 $D = 0$ とわかった時点で、解の形は 4 パターン（ $a$ の符号 × 等号の有無）に限定されるので、あとは機械的に当てはめるだけで済みます。