重解をもつ二次不等式〜等号ひとつで解なしと 1 点が入れ替わる

判別式が $0$ のとき、放物線は $x$ 軸に触れて戻ります。横切らないため、境界は 1 本しか立たない。

境界が 2 本あるうちは、答えは「内側」か「外側」のどちらかでした。1 本になると、その言い方が使えなくなります。

接する式は平方の形に書ける

$D = 0$ の二次式は、平方完成すると $a (x - p)^{2}$ になります。 $x^{2} - 6 x + 9$ なら $(x - 3)^{2}$ 。

平方の部分は $0$ 以上で、 $0$ になるのは $x = 3$ のとき 1 か所だけ。値の動く範囲が $0$ 以上に限られているところが、答えの形を決めています。

値の動く範囲から 4 通りが決まる

$(x - 3)^{2}$ がとる値は $0$ 以上のすべて。 $0$ になるのは $x = 3$ の 1 点で、それ以外では正になる。

この 1 行から 4 つの答えがそのまま読める。

不等式	解
$(x - 3)^{2} > 0$	$x \neq = 3$
$(x - 3)^{2} \geq 0$	すべての実数
$(x - 3)^{2} < 0$	解なし
$(x - 3)^{2} \leq 0$	$x = 3$

正の値しかとらないため $< 0$ は成り立たず、解なし。 $\leq 0$ になった瞬間、 $0$ をとる $x = 3$ が答えとして残ります。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… shape.latex …)

定数を動かすと答えが飛ぶ

$x^{2} - 6 x + c \leq 0$ の $c$ を $10$ 、 $9$ 、 $8$ と下げていきます。放物線が下へ動き、答えの姿が段ごとに変わる。

$c = 10$ では $(x - 3)^{2} + 1$ で、いちばん低いところが $1$ 。 $\leq 0$ を満たす $x$ はなく、解なしです。

$c = 9$ でちょうど接し、答えは $x = 3$ の 1 点。 $c = 8$ になると $(x - 3)^{2} - 1 \leq 0$ で、 $2 \leq x \leq 4$ の区間に広がる。

$c = 9$ の 1 点だけが特別で、その前後では解なしと区間に分かれます。接する瞬間だけ、答えが $1$ 点にやせる。

$x^{2}$ の係数が負のとき

$- (x - 3)^{2}$ は $0$ 以下しかとりません。上に凸で、頂点が $x$ 軸に触れている形。

さきほどの 4 通りが、そのまま裏返ります。

- (x - 3)^{2} > 0

は解なし。

- (x - 3)^{2} \geq 0

は

x = 3

。

- (x - 3)^{2} < 0

は

x \neq = 3

。

- (x - 3)^{2} \leq 0

はすべての実数。

例：係数が $1$ でない場合

$4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 0$ を解きます。左辺は $(2 x - 3)^{2}$ 。

平方の中を $0$ にする $x$ が境界で、 $2 x - 3 = 0$ から $x = \frac{3}{2}$ 。答えはこの 1 点。

$x = \frac{3}{2}$

$4$ でくくって $4 (x - \frac{3}{2})^{2}$ としても同じ。かっこの外の正の数は、 $0$ 以上という性質を変えません。

重解かどうかの見分け方

判別式を計算すれば確実に決まります。 $a x^{2} + b x + c$ で $D = b^{2} - 4 a c$ が $0$ になれば重解。

$4 x^{2} - 12 x + 9$ なら $144 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0$ 。

平方の形が見えるなら、そちらのほうが早い。 $x^{2} - 10 x + 25$ は $5^{2} = 25$ と $2 \times 5 = 10$ が合っているため $(x - 5)^{2}$ です。

例：重解になる定数を求める

$x^{2} + k x + 16 = 0$ が重解をもつ $k$ を求めます。 $D = k^{2} - 64 = 0$ から $k = \pm 8$ 。

$k = 8$ なら $(x + 4)^{2}$ で境界は $x = - 4$ 、 $k = - 8$ なら $(x - 4)^{2}$ で境界は $x = 4$ 。

このとき $x^{2} + 8 x + 16 < 0$ は解なし、 $x^{2} + 8 x + 16 \leq 0$ は $x = - 4$ になります。

$x^{2} - 8 x + 16 > 0$ の解はどれですか。

すべての実数
$x \neq = 4$
解なし

__RESULT__

$(x - 4)^{2} > 0$ です。平方は $0$ 以上で、 $0$ になるのは $x = 4$ のときだけ。等号がないため $x = 4$ を外し、それ以外すべてが答えになります。 $\geq 0$ ならすべての実数。

例：解がただ 1 つになる条件

$x^{2} - 2 k x + k + 6 \leq 0$ の解がただ 1 つになる $k$ を求めます。

$\leq 0$ の解が 1 点になるのは、放物線が接するとき。 $D = 0$ が条件です。

$\frac{D}{4} = k^{2} - (k + 6) = k^{2} - k - 6 = (k - 3) (k + 2) = 0$

$k = 3$ または $k = - 2$ 。 $k = 3$ のときは $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ で、解は $x = 3$ 。 $k = - 2$ なら $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ で、解は $x = - 2$ になります。

$D > 0$ にしてしまうと解が区間になり、 $1$ 点では収まりません。 $D < 0$ なら解なし。ただ 1 つという言葉が $D = 0$ を名指ししています。

$x^{2} + 6 x + k < 0$ が解をもたない $k$ の範囲はどれですか。

$k \geq 9$
$k > 9$
$k \leq 9$

__RESULT__

$\frac{D}{4} = 9 - k$ です。 $D < 0$ なら放物線が浮いて解なし、 $D = 0$ でも接するだけで $< 0$ を満たす点はありません。だから $D \leq 0$ 、つまり $9 - k \leq 0$ で $k \geq 9$ 。等号を落とすと $k = 9$ の接する場合を見落とします。

補足：接する手前と後ろ

$D$ を負から正へ動かすと、 $\leq 0$ の答えは「解なし」「 $1$ 点」「区間」と移ります。真ん中の $1$ 点は $D = 0$ のところにしかありません。

$> 0$ の側は逆で、「すべての実数」「 $1$ 点を除く全体」「 $2$ 区間」と移る。どちらの側でも、 $D = 0$ の行だけが 1 点ぶんの差になっています。

答えが「 $x = 3$ 」や「解なし」のように区間の形をしていないときは、たいてい重解のところにいます。

$D = 0$ の二次式は平方完成すると $a(x-p)^2$ になり、放物線は $x$ 軸に触れて戻ります。境界が 1 本しか立たないため、内側と外側という言い方が使えない。$(x-3)^2$ がとる値は $0$ 以上で $0$ になるのは 1 点だけ、という一行から $x \neq 3$、すべての実数、解なし、$x = 3$ の 4 通りが読めます。$x^2 - 6x + c$ の $c$ を $10$、$9$、$8$ と下げると答えが解なし・1 点・区間と移る。$4x^2 - 12x + 9$ のように係数が $1$ でない例、解がただ 1 つになる定数の求め方まで。