付値と付値環：非アルキメデス的絶対値と数体の素点

$v_2(48)=4$、$v_3(48)=1$、$v_5(48)=0$。$48$ が素数ごとに何回割り切れるかを数えた値です。

かけ算はこの値の足し算になります。$48\cdot 6=288=2^5\cdot 3^2$ で $v_2(288)=5$。割り切れる回数を数える操作が乗法群から加法群への準同型になっている。

付値の公理

$K$ を体とします。次の $2$ つを満たす写像 $v:K^{\times }\to \mathbb{R}$ が $K$ 上の付値です。

$$v(xy)=v(x)+v(y)$$

$$v(x+y)\ge \min \{v(x),v(y)\}$$

$v(0)=+\infty$ と決めておけば、$2$ つ目は $x$ や $y$ が $0$ のときも成り立ちます。

$1$ つ目は準同型の条件そのものです。ここから $v(1)=0$ と $v(x^{-1})=-v(x)$ が決まる。

$p$ 進付値で $2$ つ目を確かめます。$x=p^{a}u$ と $y=p^{b}w$（$u$ と $w$ は分子も分母も $p$ で割り切れない有理数、$a\le b$）を足すと次の形です。

$$x+y=p^a\left(u+p^{b-a}w\right)$$

かっこの中は分母が $p$ で割り切れない有理数なので、$v_p(x+y)\ge a$ になります。

像 $v(K^{\times })$ を値群と呼びます。$\{0\}$ になるものが自明な付値で、$\mathbb{Z}$ と同型になるものが離散付値。離散のときは定数倍して $v(K^{\times })=\mathbb{Z}$ にそろえておきます。

有理関数体の付値

整数の割り算と関係のない体にも同じ公理を満たす関数があります。体 $k$ 上の有理関数体 $k(t)$ がその例で、多項式環 $k[t]$ のモニックな既約多項式 $\pi$ ごとに付値が $1$ つ決まります。有理式を $f={\pi }^a\frac{g}{h}$（$g$ も $h$ も $\pi$ で割り切れない）と書いたときの $a$ が $v_{\pi }(f)$ です。

素数を既約多項式に置き換えるだけで $\mathbb{Q}$ の場合と同じ議論が通ります。次数から決まる付値ももう $1$ つある^[2]。

$$v_{\infty }\left(\frac{g}{h}\right)=\mathrm{deg}h-\mathrm{deg}g$$

$f=\frac{t^2-1}{t^3}$ について $v(f)$ を付値ごとに求めます。

ほかの既約多項式では $0$ です。$0$ でない値は $4$ つだけで足すと $1+1-3+1=0$ になります。

$k$ が代数的閉体なら正の値は零点の位数、負の値は極の位数にあたります。合計が $0$ とは零点と極が同じ個数あるということ。コンパクトなリーマン面の上の有理型関数が零点と極を同数持つという事実と同じ内容です^[3]。

付値環

自明でない付値 $v$ をとり、値が負にならない元を集めます。

$${\mathcal{O}}_v=\{x\in K\mid v(x)\ge 0\}$$

これは $K$ の部分環で、単元群は $v(x)=0$ の元、極大イデアルは $v(x)>0$ の元の全体になります。極大イデアルが $1$ つしかないため局所環です。

付値を持ち出さない特徴づけもあります。

見慣れた環がこの形で現れます。

最初の $2$ つはどちらも局所化そのものです^[1]。素イデアルで局所化する操作と $1$ つの付値だけを見る操作が一致している。

極大イデアルが単項であることと値群が離散であることは同値です。このとき ${\mathcal{O}}_v$ を離散付値環と呼び、$v(\pi )$ が正の最小値をとる元 $\pi$ を素元と呼びます。$0$ でない元は $u{\pi }^n$ と一通りに書ける。

値群は $\mathbb{Z}$ とは限らない

$\mathbb{R}$ の代わりに全順序アーベル群 $\Gamma$ を値群にとっても、公理はそのまま書けます^[4]。クルルが 1932 年に整理したこの形が付値論の標準的な定義です。

実数値のものでも離散とは限りません。$\overline{\mathbb{Q}}$ には $\sqrt[n]{p}$ が入っているため、$p$ 進絶対値を延長すると $v(\sqrt[n]{p})=\frac{1}{n}$ になります。値群は $\mathbb{Q}$ になり $\mathbb{R}$ の中で離散になりません^[3]。

付値環がネーター環であることと付値が離散であることは同値です^[4]。$\overline{\mathbb{Q}}$ の上のこの付値環はネーターでない。可換環論の定理の多くが前提のところで当てはまらなくなります。

付値環の $0$ でない素イデアルの個数を付値の高さと呼びます^[4]。値群が $\mathbb{R}$ の部分群になるのは高さが $1$ 以下のときです。$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ に辞書式順序を入れた群では $(0,1)$ を何度足しても $(1,0)$ を越えません。順序を保ったまま $\mathbb{R}$ へ入れる群ではない。

「アルキメデス的」という名前の由来

$|x|=0⟺x=0$ と $|xy|=|x||y|$ と $|x+y|\le |x|+|y|$ を満たす写像 $|\cdot |:K\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ が絶対値です。$3$ つ目が次の形に強められるものを非アルキメデス的と呼びます^[3]。

$$|x+y|\le \max \{|x|,|y|\}$$

この不等式が強三角不等式です。付値からは $|x{|}_v=c^{-v(x)}$（$c>1$）で絶対値が作れ、$p$ 進絶対値は $c=p$ をとったもの。

名前の由来は整数の像のふるまいです^[3]。

この $2$ つの条件は同値です^[3]。アルキメデスの公理は「短い線分でも十分な回数つなげば長い線分を越えられる」という主張でした。強三角不等式を満たす絶対値では整数 $n$ について $|na|\le |a|$ なので、$|a|<|b|$ なら $a$ を何倍しても絶対値は $|b|$ に届かない。その公理が成り立たない側を非アルキメデス的と呼んでいる。

標数が $0$ でない体では絶対値が必ず非アルキメデス的になります^[3]。$\{m\cdot 1\}$ は有限集合で像も当然有界。${\mathbb{F}}_q(t)$ の上にアルキメデス的な絶対値が $1$ つもないのはこのためです。

強三角不等式が決める形

$|x|\ne |y|$ なら $|x+y|=\max \{|x|,|y|\}$ になります。$|x|<|y|$ で $|x+y|<|y|$ だとすると、$y=(x+y)-x$ の絶対値が $|y|$ より小さくなって矛盾する。

和が $0$ になる有限個の元では最大の絶対値が $2$ 回以上とられます^[3]。$1$ つだけ最大だと残りの和と打ち消し合えない。

距離を $d(x,y)=|x-y|$ で入れると球のふるまいが実数のときと変わります。

どれも最初の等式から従います^[1]。$3$ 点の距離を測ると長いほうの $2$ 辺が必ず一致します。

同値な絶対値と素点

同じ位相を定める $2$ つの絶対値はべきの関係にあります^[3]。ある $s>0$ について $|\cdot {|}_2=|\cdot {|}_1^s$ となる。$|\alpha {|}_1<1$ ならば $|\alpha {|}_2<1$ という弱い条件だけからここまで決まります^[3]。

この同値類を素点と呼びます^[2]。数体 $K$ の素点は $3$ 種類で、正規化まで込みで次のように定めます^[3]。

複素素点だけ $2$ 乗する理由は測度にあります^[2]。正規化された絶対値はかけ算による伸び率で決まり、$\mathbb{C}$ の上で $\alpha$ 倍すると面積が $|\alpha {|}^2$ 倍になる。

$2$ 乗したものは三角不等式を満たしません^[2]。$|1+1{|}^2=4$ は $|1{|}^2+|1{|}^2=2$ を越えます。使うのは乗法性と位相だけ。

$\mathbb{Q}(i)$ の $1+i$ について素点ごとの値を求めます。$(1+i{)}^2=2i$ なので、$(1+i)$ は $2$ の上にある素イデアルでノルムは $2$。有限素点での値が $\frac{1}{2}$ で複素素点での値が $|1+i{|}^2=2$ なので、かけ合わせると $1$ になります。

$5=(2+i)(2-i)$ では $2$ つの有限素点がそれぞれ $\frac{1}{5}$ を与え、複素素点が $25$ を与える。やはり積は $1$。

素点は互いに独立している

自明でなく互いに同値でもない絶対値 $|\cdot {|}_1,\dots ,|\cdot {|}_n$ をとります。どんな $a_1,\dots ,a_n\in K$ と $\epsilon >0$ についても、すべての $i$ で $|a-a_i{|}_i<\epsilon$ となる $a\in K$ が存在します。弱近似定理と呼ばれ、Artin と Whaples が 1945 年に示しました^[3]。

中国剰余定理を絶対値の言葉に置き換えたものです。有限個の素点それぞれで好きな値に近づけられるため、$1$ つの素点での条件がほかの素点での値を決めることはない。

$0$ でない有理数 $x$ は $\mathbb{Q}$ のすべての素点にわたる積について ${\prod }_v|x{|}_v=1$ を満たします。積公式と呼ばれる等式で、素数ごとの有限素点と無限素点が $1$ つずつ並ぶ。

この形の等式を有限個の素点では作れないことも弱近似定理から決まります^[3]。$|a{|}_1^{r_1}\cdots |a{|}_n^{r_n}=1$ がすべての $a\in K^{\times }$ で成り立つなら、$r_i$ はすべて $0$ です。$1$ つの素点でいくらでも大きく、残りでいくらでも小さい元がとれるため。

積公式が成り立つには素点が全部そろっている必要があります。$1$ つ抜けば崩れ、有限個を選び直して似た式を立てることもできない。

拡大では素点が分かれる

$L/K$ を有限次分離拡大とします。$K$ の素点 $v$ の上に乗る $L$ の素点は有限個で、完備化の次数について次が成り立ちます^[2]。

$$\sum _{w\mid v}[L_w:K_v]=[L:K]$$

有限素点では $[L_w:K_v]$ が $e_w{f}_w$ にあたるため、素イデアル分解で見慣れた $\sum e_w{f}_w=n$ と同じ式になります。$e_w$ が分岐指数で $f_w$ が剰余次数。この $2$ つが局所的な拡大次数として $1$ つにまとまる。

ノルムをとると上に乗る素点の値が $1$ か所に集まります^[3]。

$$\prod _{w\mid v}|\alpha {|}_w=|N_{L/K}(\alpha ){|}_v$$

$\mathbb{Q}(i)$ では $5$ が $2$ つの素点に分かれ、$3$ は $1$ つのまま剰余次数が $2$ になり、$2$ は $1$ つに重なって分岐指数が $2$ になります。無限素点の上には複素素点が $1$ つ乗り $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$。どの場合も合計は $2$ です。

割り切れる回数を数えるという操作を $2$ 行の公理に書き直す。それだけで局所環が決まり、距離が入り、拡大で素点がどう分かれるかまで決まります。

参考文献