二次方程式の解が二次不等式の境界を決めている

$x^{2} - 5 x + 6 > 0$ を解くとき、最初にやるのは $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ を解くことです。

方程式の解は、放物線が $x$ 軸と交わる場所。そこでだけ値が $0$ になり、その前後で符号が入れ替わります。交点が、答えの区間を区切る境界になる。

境界が決まれば、あとはどちら側が正でどちら側が負かを読むところが残ります。

交点の前後で符号が入れ替わる

$y = x^{2} - 5 x + 6$ を因数分解すると $(x - 2) (x - 3)$ で、交点は $x = 2$ と $x = 3$ 。

この 2 点で数直線が 3 つに割れる。 $x < 2$ 、 $2 < x < 3$ 、 $3 < x$ の 3 区間で、それぞれの内側では符号が変わりません。

$x^{2} - 5 x + 6 > 0$ の解は正の区間だから $x < 2$ または $x > 3$ 。 $< 0$ の解は負の区間で $2 < x < 3$ になります。

下に凸なら外が正、内が負

$x^{2}$ の係数が正だと放物線は下に凸で、両端が上を向きます。 $x$ を大きくしても小さくしても値は正の側へ伸びる。

$x$ 軸より下に沈むのは、2 つの交点にはさまれたところだけ。負の区間はいつも内側。

上に凸なら、この内と外が入れ替わります。

4 つの不等号を並べる

$α < β$ として、境界が $α$ と $β$ 、下に凸のときをまとめます。

不等式	解
$(x - α) (x - β) > 0$	$x < α$ または $x > β$
$(x - α) (x - β) \geq 0$	$x \leq α$ または $x \geq β$
$(x - α) (x - β) < 0$	$α < x < β$
$(x - α) (x - β) \leq 0$	$α \leq x \leq β$

下に凸の放物線を 1 つ描けば、この 4 行はそこから読み直せます。等号がつくと、境界の 2 点が答えに加わる。

因数の符号を並べて確かめる

グラフを使わずに、因数の符号だけでも同じ結論に着きます。 $(x - 1) (x - 3)$ で見てみる。

$x - 1$ は $x = 1$ を境に負から正へ変わり、 $x - 3$ は $x = 3$ を境に変わる。積の符号は、2 つの符号の組み合わせで決まります。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… mark …)

両端では 2 つの因数の符号がそろいます。左端は負かける負、右端は正かける正で、どちらも積は正。

真ん中では符号が食い違うため、積が負になります。この並べ方を符号表といいます。

例： $x^{2} - 7 x + 12 \geq 0$

左辺は $(x - 3) (x - 4)$ で、境界は $x = 3$ と $x = 4$ 。

$x^{2}$ の係数が $1$ で正だから下に凸、 $\geq 0$ は外側。等号がついているぶん、端点も答えに入ります。

$x \leq 3 または x \geq 4$

例： $2 x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$

左辺は $(2 x - 1) (x + 2)$ 。 $2 x - 1 = 0$ から $x = \frac{1}{2}$ 、 $x + 2 = 0$ から $x = - 2$ が境界。

係数が $2$ で正だから下に凸、 $\leq 0$ は内側。小さいほうを左に置いて書く。

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

$x = 0$ を入れると $- 2 \leq 0$ で成り立ち、 $x = 1$ なら $3 \leq 0$ で成り立たない。区間の内と外で答えが合っています。

例： $6 x^{2} - x - 2 \geq 0$

$(3 x - 2) (2 x + 1)$ と分解できます。境界は $x = \frac{2}{3}$ と $x = - \frac{1}{2}$ 。

下に凸で $\geq 0$ だから外側。

$x \leq - \frac{1}{2} または x \geq \frac{2}{3}$

境界が分数でも扱いは変わりません。 $(3 x - 2)$ の境界を $x = 2$ としないところが目印で、 $3 x - 2 = 0$ を解いた値を使う。

例：因数分解できない $x^{2} - 3 x + 1 > 0$

整数の範囲では分解できないため、解の公式に移ります。

$x = \frac{3 \pm 9 - 4}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$5$ は $2.2$ と $2.3$ のあいだにあり、境界はおよそ $0.4$ と $2.6$ 。下に凸で $> 0$ だから外側になります。

$x < \frac{3 - 5}{2} または x > \frac{3 + 5}{2}$

手順は因数分解のときと変わらず、境界の値が無理数になっただけ。答えは根号のまま残す。

因数分解できるとき

境界が整数や分数になり、積の形から符号も読める

解の公式に移るとき

境界が無理数になり、符号は凸の向きから決める

$x^{2}$ の係数が負のとき

$- x^{2} + 4 x - 3 > 0$ を解きます。方程式 $- x^{2} + 4 x - 3 = 0$ の解は $x = 1$ と $x = 3$ 。

上に凸だから、正になるのは内側。答えは $1 < x < 3$ です。

両辺に $- 1$ をかけて係数を正にそろえる道もあります。負の数をかけると不等号の向きが変わるところが 1 か所。

$x^{2} - 4 x + 3 < 0, (x - 1) (x - 3) < 0, 1 < x < 3$

どちらの道でも同じ答えに着きました。

$3 x^{2} - 5 x - 2 \leq 0$ の解はどれですか。

$x \leq - \frac{1}{3}$ または $x \geq 2$
$- \frac{1}{3} \leq x \leq 2$
$- 2 \leq x \leq \frac{1}{3}$

__RESULT__

$3 x^{2} - 5 x - 2 = (3 x + 1) (x - 2)$ で、境界は $x = - \frac{1}{3}$ と $x = 2$ です。係数が $3$ で下に凸、 $\leq 0$ は内側だから $- \frac{1}{3} \leq x \leq 2$ になります。境界を $x = - 1$ と読むと 3 番目の形になる。

代入すれば凸の向きを思い出さずに済む

グラフの向きが浮かばないときは、区間から値を 1 つ選んで代入します。

$(x - 2) (x - 5) > 0$ で $x = 0$ を試すと $(- 2) \times (- 5) = 10$ で正。左の区間が正だと決まる。

真ん中は $x = 3$ で $(1) \times (- 2) = - 2$ の負、右は $x = 6$ で $(4) \times (1) = 4$ の正。3 区間の符号がそろいました。

境界をまたぐたびに符号が入れ替わるため、2 区間を調べれば残りも決まります。

$- 2 x^{2} + 5 x + 3 > 0$ の解はどれですか。

$- \frac{1}{2} < x < 3$
$x < - \frac{1}{2}$ または $x > 3$
$- 3 < x < \frac{1}{2}$

__RESULT__

両辺に $- 1$ をかけて $2 x^{2} - 5 x - 3 < 0$ にすると、不等号の向きが変わります。 $(2 x + 1) (x - 3) < 0$ から境界は $x = - \frac{1}{2}$ と $x = 3$ で、下に凸の $< 0$ は内側。 $- 1$ をかけるときに向きを変え忘れると 2 番目を選ぶことになります。

手順に落とす

移項して二次式と 0 を比べる形にそろえる

対応する方程式を解いて境界を決める

凸の向きから内側と外側の符号を読む

不等号に合う区間を書き、等号を確かめる

2 段目が本体で、そこは二次方程式を解く作業そのもの。3 段目と 4 段目は、図を 1 つ描けば読みとれます。

検算は端点の少し内と外で

答えが $x < 2$ または $x > 3$ なら、 $x = 1.9$ と $x = 2.1$ を入れて成り立ち方が入れ替わるかを見ます。

$x^{2} - 5 x + 6$ に $x = 1.9$ を入れると $3.61 - 9.5 + 6 = 0.11$ で正。 $x = 2.1$ なら $4.41 - 10.5 + 6 = - 0.09$ で負。境界の $2$ をまたいで符号が変わりました。

区間の真ん中を 1 つ試すより、境界のすぐ両側を試すほうが、境界の位置そのものを確かめられます。

$x^2 - 5x + 6 > 0$ を解く前に $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。方程式の解は放物線が $x$ 軸と交わる場所で、そこでだけ値が $0$ になり、前後で符号が入れ替わる。だから交点が答えの区間を区切ります。下に凸なら外が正で内が負、上に凸ならその逆。因数の符号を 2 段並べた符号表からも同じ結論に着きます。因数分解できる 3 例、解の公式に移る例、$x^2$ の係数が負の例を順に解き、凸の向きを思い出さずに済む代入のしかたまで。