原点を止めた写像はどれだけ縮むか？シュワルツの補題が答える

単位円板を自分自身へ写し、原点を動かさない正則関数には、強い制限がかかります。

$$|f(z)|\le |z|,|f^{\prime }(0)|\le 1$$

$f$ が $|z|<1$ で正則、$|f(z)|\le 1$、$f(0)=0$ という 3 つの条件だけから出る結論です。

原点を止めたまま円板の中で動かせる範囲は、思ったより狭い。どの点も、原点からの距離を伸ばす向きへは動かせません。

さらに等号が 1 か所でも成り立てば、$f$ は回転そのものになります。少し縮めるか、まったく縮めないかの二択で、途中がない^[1]。

証明

$g(z)=f(z)/z$ を作ります。$f(0)=0$ なので、原点は除去可能特異点。値を $f^{\prime }(0)$ と定めれば、$g$ は円板全体で正則です^[6]。

半径 $r<1$ の円周の上では、$|f|\le 1$ から次が成り立ちます。

$$|g(z)|=\frac{|f(z)|}{r}\le \frac{1}{r}$$

最大値原理から、この評価は $|z|\le r$ の内側でも成り立つ^[2,3]。境界で押さえた値が内部を支配します。

$r$ を固定して $z$ を止めたまま、$r$ を $1$ へ近づける。右辺が $1$ に収束するので $|g(z)|\le 1$ が残ります。

書き直せば $|f(z)|\le |z|$ です。$z=0$ での値を見れば $|f^{\prime }(0)|\le 1$ も出ます。

等号が成り立つ場合

どこか 1 点で $|f(z_0)|=|z_0|$ となれば、$|g(z_0)|=1$ です。$|g|\le 1$ の内点で最大をとることになる。

最大値原理から $g$ は定数で、その絶対値は $1$。したがって $g(z)=e^{i\alpha }$ で、次の形に決まります。

$$f(z)=e^{i\alpha }z$$

$|f^{\prime }(0)|=1$ の場合も同じ結論です。$g(0)=f^{\prime }(0)$ なので、やはり内点で最大をとる。

つまり、少しでも縮める関数はどこでも真に縮め、縮めない関数は回転しかありません。中間がない。

例：$f(z)=z^2$

$f(0)=0$ で、円板の中では $|z^2|=|z{|}^2\le |z|$ です。補題の主張と合っています。

$f^{\prime }(0)=0$ なので $|f^{\prime }(0)|\le 1$ も成り立つ。等号は成り立たないので、回転ではありません。

原点以外では真に縮んでいます。$|z|=0.5$ の点は $|f|=0.25$ へ移り、半分の距離になる。

零点の位数を使う

$f$ が原点で $m$ 位の零点を持つなら、評価が強くなります。$g=f/z^m$ に同じ議論を当てる。

$$|f(z)|\le |z{|}^m$$

$z^2$ の例は $m=2$ の場合です。零点の位数が高いほど、原点の近くで強く押さえられる。

条件を外すと崩れる

3 つの条件はどれも要ります。$f(0)=0$ を外すと結論が成り立たない。

たとえば $f(z)=(z+1)/2$ は円板を円板へ写しますが、$f(0)=1/2$ です。$|f(0)|>|0|$ なので、補題の形の不等式は成り立ちません。

円板から円板へという条件も外せません。$f(z)=2z$ は $f(0)=0$ を満たしますが、像が円板をはみ出します。

正則であることも要ります。共役をとる写像は円板を保ちますが、正則でないので補題の外です。

$f(0)\ne 0$ の場合

原点を動かす写像にも、対応する主張があります。原点へ戻す変換をはさむだけ。

$\alpha =f(0)$ とし、$\alpha$ を原点へ送る自己同型 ${\phi }_{\alpha }$ を合成します。

$${\phi }_{\alpha }(w)=\frac{w-\alpha }{1-\bar{\alpha }w}$$

${\phi }_{\alpha }\circ f$ は原点を止めるので、補題がそのまま使えます。書き戻すと次の不等式が出る。

$$\left|\frac{f(z)-f(0)}{1-\overline{f(0)}f(z)}\right|\le |z|$$

さらに $z$ の側も動かせば、2 点についての一般形になります。

シュワルツ・ピックの定理

円板から円板への正則写像は、次の不等式を満たします。

$$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}{z}_2}\right|$$

左辺と右辺は同じ形の量で、擬双曲距離と呼ばれます。写像がこの距離を伸ばせない、という主張^[1]。

微分の形にも書けます。$z_2$ を $z_1$ に近づけて極限をとる。

$$\frac{|f^{\prime }(z)|}{1-|f(z){|}^2}\le \frac{1}{1-|z{|}^2}$$

等号が 1 か所でも成り立てば、$f$ は円板の自己同型です。ここでも中間がありません。

ポアンカレ計量

擬双曲距離の背後には、円板に入れた特別な長さの測り方があります。

$$ds=\frac{2|dz|}{1-|z{|}^2}$$

境界に近いほど、同じ見た目の長さが大きく測られます。境界までの距離は無限大になり、円板が果てのない世界になる。

この計量のもとで、円板の自己同型は距離を保つ変換です。それ以外の正則写像は距離を縮める。シュワルツ・ピックの定理は、そういう主張として読めます。

測地線、つまり最短経路は、直径か、単位円に直交する円弧になります。ユークリッド幾何とは違う平行線の様子が現れる。

円板の自己同型

シュワルツの補題から、円板の自己同型がすべて書き下せます。

$$f(z)=e^{i\theta }\frac{z-\alpha }{1-\bar{\alpha }z}(|\alpha |<1)$$

証明は 2 段階。まず $f$ と $f^{-1}$ の両方に補題を当てて、原点を止める自己同型が回転しかないことを示す。

$f(0)=0$ なら $|f(z)|\le |z|$、逆写像にも当てて $|z|\le |f(z)|$ です。両立するのは等号だけなので、回転に決まります。

一般の場合は $\alpha =f^{-1}(0)$ をとり、${\phi }_{\alpha }$ を合成して原点を止める形に直せばよい。合成が回転なので、上の式が出ます。

自由度は 3 つ^[4]。$\alpha$ の実部と虚部、それに回転角です。

リーマンの写像定理の一意性

単連結領域を円板へ写す等角写像は 1 つに決まりません。決めるには条件を足します。

ある点 $z_0$ を原点へ送り、そこでの微分の偏角を指定する。この 2 つで一意になります。

証明はシュワルツの補題から。2 つの写像 $f$ と $g$ が同じ条件を満たすなら、$h=f\circ g^{-1}$ が円板の自己同型で、原点を止め、微分が正の実数になる。

補題より $h$ は回転で、回転角は $0$^[5]。したがって $h$ は恒等写像で、$f=g$ です。

不動点が 2 つあれば恒等写像

円板から円板への正則写像が、自己同型でないとします。このとき不動点は高々 1 つ。

2 つの不動点 $p$、$q$ があるとすると、シュワルツ・ピックの不等式で等号が成り立ってしまいます。等号なら自己同型なので、仮定に反する。

自己同型の場合も、不動点が 3 つ以上あれば恒等写像です。メビウス変換の固定点が 2 つまでという事実から出ます。

上半平面での形

円板と上半平面はメビウス変換で移り合うので、同じ主張が上半平面でも書けます。

$$\frac{|f^{\prime }(z)|}{\mathrm{Im}f(z)}\le \frac{1}{\mathrm{Im}z}$$

こちらの計量は $ds=|dz|/\mathrm{Im}z$ です。測地線は、実軸に垂直な直線と、実軸に中心を持つ半円になります^[7]。

上半平面の自己同型は、係数が実数で行列式が正のメビウス変換。整数に限るとモジュラー群になり、数論とつながります。

応用：有界な関数を評価する

補題は、値の上界を与える道具として使えます。$f$ が $|z|<1$ で正則、$|f|\le M$、$f(0)=0$ とする。

$f/M$ に補題を当てれば $|f(z)|\le M|z|$ です。境界での上界だけから、内部での上界が距離に比例する形で出る。

$f(0)=c\ne 0$ のときは、$\phi$ をはさんだ形で評価します。原点での値が分かっていれば、内部の値の動ける範囲が円板として決まる。

この形の評価は、増大度を調べる場面で繰り返し使われます。境界の情報が内部を縛るという、複素解析の基本の姿がここにも出ています。

よくある誤り

$|f|\le 1$ と $f(0)=0$ という、ほとんど何も言っていないような条件から、写像の形がここまで縛られます。最大値原理をひとつ当てただけで、円板の幾何そのものが決まってしまう。

参考文献