シュワルツの補題とその応用

シュワルツの補題は、単位円板上の正則関数に対する強力な評価を与える定理だ。見た目は単純だが、等角写像の理論やリーマンの写像定理の証明など、複素解析の様々な場面で活躍する。

補題の主張

$f$ を単位円板 \mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\} から $\mathbb{D}$ への正則関数で、$f(0)=0$ を満たすとする。このとき

が成り立つ。さらに、ある $z_0\ne 0$ で $|f(z_0)|=|z_0|$ となるか、または $|f^{\prime }(0)|=1$ ならば、$f(z)=e^{i\theta }z$（回転写像）の形に限る。

証明の概略

$g(z)=f(z)/z$ と定義する。$f(0)=0$ なので $g$ は $z=0$ でも正則に拡張でき、$g(0)=f^{\prime }(0)$ となる。|z| = r < 1 上で

$$|g(z)|=\frac{|f(z)|}{|z|}\le \frac{1}{r}$$

最大値原理により、$|z|\le r$ でも $|g(z)|\le 1/r$ が成り立つ。$r\to 1$ とすれば $|g(z)|\le 1$、すなわち $|f(z)|\le |z|$ を得る。

等号成立の場合は最大値原理の等号条件から $g$ が定数となり、$f(z)=e^{i\theta }z$ が従う。

シュワルツ・ピックの定理

原点を固定する条件を外した一般化がシュワルツ・ピックの定理だ。$f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ が正則ならば、任意の $z,w\in \mathbb{D}$ に対して

$$\left|\frac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(w)}f(z)}\right|\le \left|\frac{z-w}{1-\bar{w}z}\right|$$

が成り立つ。左辺と右辺はそれぞれ双曲距離（ポアンカレ距離）を用いた表現で、正則関数は双曲距離を縮小するという主張になっている。

応用：自己同型群の決定

シュワルツの補題を用いると、単位円板の正則自己同型写像が完全に決定できる。$f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ が全単射かつ正則ならば、$f$ はメビウス変換

f(z) = e^{i\theta} \frac{z - a}{1 - \bar{a} z}, \quad |a| < 1

の形に限る。これは $\mathbb{D}$ の自己同型群が $\mathrm{PSU}(1,1)$ と同型であることを意味する。

応用：リウヴィルの定理の別証明

有界な整関数が定数であるというリウヴィルの定理も、シュワルツの補題から導ける。$f$ が有界整関数で $|f(z)|\le M$ とすると、$g(z)=f(Rz)/M$ は $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への正則関数で $g(0)=f(0)/M$。シュワルツの補題から $|g^{\prime }(0)|\le 1$、すなわち $|f^{\prime }(0)|\le M/R$ が任意の $R>0$ で成り立つ。$R\to \infty$ で $f^{\prime }(0)=0$ を得る。同様の議論を任意の点で行えば $f^{\prime }\equiv 0$ となり、$f$ は定数だ。