調和関数と正則関数の関係

正則関数の実部と虚部は、どちらも調和関数になります。逆に、調和関数から正則関数を構成することもできます。

調和関数とは

2 変数関数 $u(x,y)$ が調和関数であるとは、ラプラス方程式

$$\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$

を満たすことです。

物理的には、熱伝導の定常状態、静電ポテンシャル、非圧縮・非回転流の速度ポテンシャルなどが調和関数です。

正則関数から調和関数へ

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ が正則なら、コーシー・リーマンの方程式

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

が成り立ちます。

$u$ のラプラシアンを計算すると

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0$$

$v$ についても同様に $\Delta v=0$ が示せます。

共役調和関数

$u$ が調和関数のとき、$f=u+iv$ が正則になるような $v$ を $u$ の共役調和関数といいます。

単連結領域では、共役調和関数は（定数の差を除いて）一意に存在します。

$v$ を求めるには、コーシー・リーマンの方程式を使います。

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$$

これを積分して $v$ を求めます。

例：$u=x^2-y^2$ の共役調和関数

$u=x^2-y^2$ として、$v$ を求めます。

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=2y$$

$x$ で積分して $v=2xy+g(y)$（$g(y)$ は $y$ のみの関数）。

$$\frac{\partial v}{\partial y}=2x+g^{\prime }(y)=\frac{\partial u}{\partial x}=2x$$

よって $g^{\prime }(y)=0$、$g(y)=C$（定数）。

したがって $v=2xy+C$ で、$f(z)=(x^2-y^2)+i(2xy)=z^2$（定数は省略）。

調和関数の性質

調和関数は正則関数の実部なので、正則関数に似た性質を持ちます。

ディリクレ問題

領域の境界で値を指定して、内部で調和関数を求める問題をディリクレ問題といいます。

たとえば「円周上で温度が $g(\theta )$ のとき、円板内部の定常温度分布を求めよ」という問題です。

解は一意に存在し、ポアソン積分

$$u(r,\theta )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{1-r^2}{1-2r\cos (\theta -\varphi )+r^2}g(\varphi )d\varphi$$

で与えられます。

複素解析では、等角写像で複雑な領域を単純な領域に変換し、ディリクレ問題を解くことがよく行われます。