調和関数 - 正則関数の実部として見ると何が分かるか

正則関数を実部と虚部に分けると、どちらもラプラス方程式を満たします。

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$

この方程式を満たす関数を調和関数と呼びます。静電場の電位、定常状態の温度、渦のない流れのポテンシャル。物理に出てくる場の多くがこの形。

逆向きも成り立ちます。穴のない領域で調和な関数は、必ずどこかの正則関数の実部として書ける。2 次元に限っては、調和関数と正則関数がほとんど同じものになります^[1,2]。

だから複素解析の道具が、そのまま物理の問題に効きます。積分公式も最大値原理も、調和関数の言葉へ翻訳できる。

調和共役

$f=u+iv$ が正則なら、$u$ と $v$ はコーシー・リーマンの方程式で結ばれます。

$$u_x=v_y,u_y=-v_x$$

1 本目を $x$ で、2 本目を $y$ で微分して足すと $u_{xx}+u_{yy}=0$ が出ます。$v$ についても同じ手順で $0$^[3]。

この関係にある $v$ を、$u$ の調和共役と呼びます。$u$ を決めれば $v$ は定数の差を除いて決まる。

順序を入れ替えると符号が変わります。$u$ が $v$ の共役ではなく、$-u$ が $v$ の共役になる。共役の関係は対称ではありません。

例：$u=x^2-y^2$ の共役

偏微分すると $u_x=2x$、$u_y=-2y$ です。コーシー・リーマンから $v_y=2x$、$v_x=2y$。

1 本目を $y$ で積分すると $v=2xy+\phi (x)$ になります。$x$ で微分して 2 本目と比べると ${\phi }^{\prime }=0$。

したがって $v=2xy+C$ です。$f=(x^2-y^2)+2xyi=z^2$ で、見なれた関数が出てきます。

例：$u=e^x\cos y$ の共役

$u_x=e^x\cos y$、$u_y=-e^x\sin y$ です。同じ手順で $v=e^x\sin y+C$。

$f=e^x(\cos y+i\sin y)=e^z$ になります。$u$ から出発して、指数関数が復元されました。

積分定数のぶんだけ自由が残ります。$f$ が虚数の定数だけずれるので、本質的な違いはありません。

共役が作れる条件

局所的には、調和関数にはいつでも共役が作れます。上の手順が近くでは必ず通るため。

領域全体で作れるかどうかは別問題です。単連結なら大丈夫で、穴があると失敗することがあります。

代表例が $u=\log |z|$。原点を抜いた平面で調和ですが、共役は $\arg z$ になり、一周すると $2\pi$ ずれます。

$$\log |z|+i\arg z=\log z$$

対数が多価であることと、共役が一価に作れないことが同じ事情です。穴の有無がここで効いてくる。

等高線が直交する

$u$ の等高線と $v$ の等高線は、どこでも直角に交わります。勾配の内積を計算すれば分かる。

$$\nabla u\cdot \nabla v=u_x{v}_x+u_y{v}_y=u_x(-u_y)+u_y{u}_x=0$$

コーシー・リーマンの方程式を代入しただけで消えます。勾配どうしが直交するので、等高線どうしも直交する。

物理では、この 2 つの族が等電位線と電気力線、あるいは等ポテンシャル線と流線に対応します。片方を描けばもう片方も決まる。

$f^{\prime }$ が消える点だけが例外です。そこでは勾配が $0$ になり、等高線が交差して直角が崩れます。

平均値の性質

コーシーの積分公式を実部と虚部に分けると、調和関数についての等式が出ます。

$$u(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(a+r{e}^{i\theta })d\theta$$

中心の値が、円周上の値の平均に等しい。円が領域に収まるかぎり、半径は自由にとれます。

円板全体での平均も同じ値になります。半径ごとの平均がどれも $u(a)$ なので、面積で重みをつけて足しても変わらない。

逆も成り立ちます。連続な関数がどの円でも平均値の性質を満たせば、その関数は調和です。微分の存在を仮定せずに調和性が定義できる^[6]。

最大値原理

平均値の性質から、内部で最大や最小をとれないことが出ます。中心の値が平均なので、まわりのどこかは必ずそれ以上になる。

定数でない調和関数は、有界閉領域での最大も最小も境界でとります^[5]。絶対値ではなく値そのものについての主張です。

正則関数の場合と違い、最小のほうにも条件が要りません。$u$ と $-u$ がどちらも調和なので、最大の議論がそのまま最小に移せる。

物理の直観とも合います。熱源のない板の内部が、境界より熱くなることはありません。

ハルナックの不等式

正の調和関数には、値の暴れ方に上限があります。$|z|<R$ で $u\ge 0$ が調和なら、次が成り立つ。

$$\frac{R-r}{R+r}u(0)\le u(r{e}^{i\theta })\le \frac{R+r}{R-r}u(0)$$

中心での値が分かれば、内部の値がその定数倍の範囲に収まります。$r$ が $R$ に近づくと幅が広がる。

正であることが効いています。符号が変わる関数には、この形の評価はありません。

系として、リウヴィル型の主張も出ます。平面全体で調和で下に有界なら、その関数は定数。

何回でも微分できる

定義では 2 階の連続微分だけを要求しますが、結果として何回でも微分できます。実解析的でもある。

局所的に正則関数の実部として書けるので、正則関数の滑らかさがそのまま移ります。1 回微分できれば無限回、という性質を受け継ぐ形。

熱方程式やラプラス方程式の解が滑らかになるという、偏微分方程式の側でよく知られた事実の、いちばん素朴な場合にあたります。

ポアソン積分公式

境界の値から内部の値を作る公式があります。単位円板の場合はこの形。

$$u(r{e}^{i\theta })=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{P}_r(\theta -t)u(e^{it})dt$$

重みにあたる $P_r$ をポアソン核と呼びます^[4]。

$$P_r(\phi )=\frac{1-r^2}{1-2r\cos \phi +r^2}$$

$r=0$ とすれば $P_0=1$ で、平均値の性質に戻ります。$r$ を $1$ に近づけると、核は $\phi =0$ の近くにとがった山を作る。

だから境界へ近づけると、その真下の境界値だけが強く効きます。核が単位の重みを保ったまま 1 点へ集まる形。

ディリクレ問題

境界の値を与えて、内部の調和関数を求める問題をディリクレ問題と呼びます。

円板ではポアソン積分がそのまま答えになります。境界値が連続なら、作った関数は内部で調和で、境界へ連続に延びる。

一意性は最大値原理から出ます。2 つの解の差は境界で $0$ の調和関数なので、最大も最小も $0$ になり、内部でも $0$。

物理の問題設定が成り立つ根拠がここにあります。境界の温度を決めれば、内部の温度分布はただ一通り。

例：境界値が $\cos n\theta$ のとき

境界で $u=\cos n\theta$ と与えます。答えは極座標で書けます。

$$u(r,\theta )=r^n\cos n\theta$$

$r=1$ で境界値に一致し、$r^n\cos n\theta$ は $z^n$ の実部なので調和です。積分を計算せずに答えが出ます。

$n=1$ なら $u=r\cos \theta =x$、$n=2$ なら $u=x^2-y^2$。境界の振動が細かいほど、内部への影響は早く消えます。

一般の境界値は、フーリエ級数に展開してこの形を重ね合わせれば得られます。ポアソン積分は、その重ね合わせをまとめて書いた式。

等角写像で移せる

調和性は正則な写像で保たれます。$u$ が調和で $g$ が正則なら $u\circ g$ も調和。

$$\Delta (u\circ g)=|g^{\prime }{|}^2(\Delta u)\circ g$$

$\Delta u=0$ なら右辺は $0$ です^[7]。だから難しい形の領域での問題を、円板の問題へ移して解ける。

境界どうしが対応していれば、境界の条件もそのまま移ります。円板で解いてから写像で戻す、という道筋が立つ。

リーマンの写像定理から、単連結な領域ならこの手が原理的には常に使えます。写像を具体的に書けるかどうかは別の話^[8]。

3 次元では事情が変わる

ラプラス方程式そのものは何次元でも定義できます。平均値の性質も最大値原理もそのまま成り立つ。

失われるのは正則関数とのつながりです。3 次元の調和関数に共役はなく、複素解析の道具が直接は届きません。

2 次元だけが特別に扱いやすいのは、複素数という代数の構造が乗るからです。等角写像で領域をとり替える手も、平面に限った特権になります。

応用の形

静電場では、電荷のない領域の電位が調和関数です。等高線が等電位線、共役の等高線が電気力線。

定常状態の熱伝導では、温度が調和関数になります。時間が経って落ち着いた分布が、境界の温度だけで決まる。

渦のない非圧縮の流れでは、速度ポテンシャルが調和です。共役が流れ関数にあたり、その等高線が流線になります。

どれも同じ方程式なので、1 つ解けば他の言葉へ翻訳できます。物理の分野をまたいで同じ図が使い回せる理由がここ。

よくある誤り

ラプラス方程式という 1 本の式が、複素解析と物理をつないでいます。正則関数を実部と虚部に切り分けるだけで、場の性質がそのまま出てくる。

参考文献