楕円関数は、複素平面上で二重周期を持つ有理型関数だ。三角関数の一般化とも言え、数論、代数幾何、物理学など広範な分野で登場する。 ...

円と直線がどのような位置関係にあるかは、交点の個数で分類できます。判別式を使う方法と、点と直線の距離を使う方法の2通りがあります...

対数を含む不等式を対数不等式と呼びます。方程式と違って、底が 1 より大きいか小さいかで不等号の向きが変わる点に注意が必要です。...

留数定理は複素積分の計算だけでなく、実数の定積分を求める強力な手法を与える。通常の微分積分学では困難な積分も、複素平面に持ち上げ...

シュワルツ・クリストッフェル変換は、上半平面（または単位円板）を多角形領域に等角写像する具体的な公式を与える。流体力学や電磁気学...

対数を含む方程式を対数方程式と呼びます。基本は「真数を等しくする」か「対数をはずす」かのどちらかです。 基本パターン1：真数を等...

円も直線と同じく方程式で表すことができます。円の方程式には標準形と一般形の2つの表し方があります。 標準形 中心が $(a, b...

対数関数 $y = \log_a x$ は、指数関数 $y = a^x$ の逆関数です。「$a$ を何乗したら $x$ になるか...

指数関数 $y = a^x$ は、底 $a$ の値によってグラフの形が変わります。基本的な性質を理解しておくと、方程式や不等式の...

三角関数の計算や積分では、特殊な置換を使うと劇的に簡単になることがあります。ここでは代表的な置換テクニックを紹介します。 $t ...

ポアソン積分公式は、円周上で与えられた境界値から円板内部での調和関数を再構成する公式だ。コーシーの積分公式と密接に関連し、調和関...

アダマールの 3 円定理は、同心円上での正則関数の最大値が対数凸であることを主張する。この定理は最大値原理を精密化したもので、関...

点から直線までの距離を求める公式は、図形と方程式の中でも特に重要です。円と直線の位置関係や、三角形の面積計算などで頻繁に使います...

三角関数の最大・最小問題は、三角関数の合成や置換を使って解くことが多いです。パターンを押さえておくと、確実に解けるようになります...

三角関数のグラフは、基本形 $y = \sin x$ や $y = \cos x$ を平行移動・伸縮させることで様々な形に変化し...

座標平面上の直線は、方程式で表すことができます。ここでは直線の方程式の基本形を整理します。 傾きと切片による表現 直線の最も基本...

無限乗積は、整関数や有理型関数を零点情報から構成する強力な道具だ。ワイエルシュトラスの因数分解定理の背景にある無限乗積の収束理論...

多項式は零点で因数分解できる。整関数にも同様の因数分解が存在するが、零点が無限個ある場合には無限積の収束を保証する工夫が必要だ。...

リーマンの写像定理は、複素解析における最も重要かつ美しい定理の一つだ。単連結な領域が位相的にはすべて同じ（単位円板と同相）である...

正規族の理論は、正則関数の列がいつ収束部分列を持つかを調べる枠組みだ。実解析におけるアルツェラ・アスコリの定理の複素解析版とも言...

真性特異点における関数の振る舞いは極めて複雑で、ピカールの定理がその本質を捉えている。この定理は、正則関数が真性特異点の近くでほ...

正則関数の零点は孤立するという性質から、一意性定理（一致の定理）が導かれる。この定理は、正則関数が小さな領域での値だけで全体が決...

シュワルツの補題は、単位円板上の正則関数に対する強力な評価を与える定理だ。見た目は単純だが、等角写像の理論やリーマンの写像定理の...

複素平面 $\mathbb{C}$ に「無限遠点」を一つ付け加えた空間をリーマン球面と呼ぶ。この拡張により、複素解析の多くの定理...