三角関数の置換テクニック（ワイエルシュトラス置換）

三角関数の計算や積分では、特殊な置換を使うと劇的に簡単になることがあります。ここでは代表的な置換テクニックを紹介します。

$t=\tan \frac{x}{2}$ 置換（ワイエルシュトラス置換）

$t=\tan \frac{x}{2}$ とおくと、$\sin x$、$\cos x$、$dx$ がすべて $t$ で表せます。

この置換は万能で、$\sin x$ と $\cos x$ の有理式の積分に使えます。

なぜこうなるのか

$t=\tan \frac{x}{2}$ のとき、半角の公式と $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ を使って導けます。

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}$$

$$\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

例題：積分への応用

$\int \frac{1}{1+\sin x}dx$ を計算します。

$t=\tan \frac{x}{2}$ とおくと、

$$\int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{\frac{1+t^2+2t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt$$

$$=\int \frac{2}{(1+t{)}^2}dt=-\frac{2}{1+t}+C=-\frac{2}{1+\tan \frac{x}{2}}+C$$

$t=\tan x$ 置換

$\tan x$ だけを含む式では $t=\tan x$ が有効です。

$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ より、${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+t^2}$、${\sin }^{2}x=\frac{t^2}{1+t^2}$ となります。

また $dx=\frac{1}{1+t^2}dt$ です（$x=\arctan t$ の微分）。

使い分け

三角関数の有理化

分母に $1+\cos x$ があるときは、$1-\cos x$ を掛けて有理化する方法もあります。

$$\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}=\frac{1-\cos x}{{\sin }^{2}x}$$

置換を使わなくても処理できることがあるので、式の形を見て判断しましょう。