三角関数の計算や積分では、特殊な置換を使うと劇的に簡単になることがあります。ここでは代表的な置換テクニックを紹介します。
t=tan2x 置換（ワイエルシュトラス置換）
t=tan2x とおくと、sinx、cosx、dx がすべて t で表せます。
| sinx | 1+t22t |
| cosx | 1+t21−t2 |
| dx | 1+t22dt |
この置換は万能で、sinx と cosx の有理式の積分に使えます。
なぜこうなるのか
t=tan2x のとき、半角の公式と 1+tan2θ=cos2θ1 を使って導けます。
sinx=2sin2xcos2x=1+tan22x2tan2x=1+t22t
cosx=cos22x−sin22x=1+tan22x1−tan22x=1+t21−t2
2x=arctant より x=2arctant なので、dx=1+t22dt です。
tan2x が定義されない x=π+2nπ では使えません。
例題：積分への応用
∫1+sinx1dx を計算します。
t=tan2x とおくと、
∫1+1+t22t1⋅1+t22dt=∫1+t21+t2+2t1⋅1+t22dt
=∫(1+t)22dt=−1+t2+C=−1+tan2x2+C
t=tanx 置換
tanx だけを含む式では t=tanx が有効です。
1+tan2x=cos2x1 より、cos2x=1+t21、sin2x=1+t2t2 となります。
また dx=1+t21dt です（x=arctant の微分）。
使い分け
t=tan2x 置換
sinx、cosx の有理式に万能。計算は複雑になることも。
t=tanx 置換
tanx のみの式、または sin2x、cos2x の有理式に有効。
三角関数の有理化
分母に 1+cosx があるときは、1−cosx を掛けて有理化する方法もあります。
1+cosx1=(1+cosx)(1−cosx)1−cosx=sin2x1−cosx
置換を使わなくても処理できることがあるので、式の形を見て判断しましょう。
