tan の半角で置きかえると三角関数の積分が有理式になる

$t=\tan \frac{x}{2}$ と置くと、$\sin x$ も $\cos x$ も $dx$ も、$t$ の分数式に変わります。

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

三角関数が消えて、多項式の割り算だけが残る。$\sin$ と $\cos$ の分数式は、これで必ず積分できます^[1]。

強力なぶん式が膨らみやすいので、ほかの手が使えないときの最後の道具として持っておきます。

3 本とも半角から出る

$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ から始めます。$\tan$ を作りたいので ${\cos }^2\frac{x}{2}$ でくくる。

$2\tan \frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}$ です。ここで ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{1+t^2}$。

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ を逆に読んだ形です^[2]。まとめると $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$。

$\cos x$ は 2 倍角から。$\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2}$。

$dx$ は $t$ を微分します。$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}\left(1+{\tan }^2\frac{x}{2}\right)=\frac{1+t^2}{2}$。

逆数をとって $dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。3 本とも半角の公式から出ました。覚える式ではありません。

分母がそろっているのが要

3 つの式の分母は、どれも $1+t^2$ です。ここが効きます。

分数式に代入すると、分母どうしが約分し合って $t$ の多項式の割り算に落ちる。

だから答えは必ず、$t$ の有理式の積分になります。三角関数が完全に消えるのが、この置換の値打ちです^[1]。

例：1 + cos x の逆数

$\int \frac{dx}{1+\cos x}$ を計算します。

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ を入れます。分母は $1+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{(1+t^2)+(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}$。

$dx$ の $\frac{2}{1+t^2}$ と割り算すると、きれいに $1$ になります。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{1+\cos x}& =\int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2}{1+t^2}}dt\\ & =\int dt\\ & =t+C\\ & =\tan \frac{x}{2}+C\end{array}$$

答えが $t$ そのものになりました。

半角の公式でも同じ答えに着きます。$1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}$ なので、被積分関数は $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\frac{x}{2}}$。

これは $\tan \frac{x}{2}$ の微分そのものです。置換を使わないほうが速い例でもあります。

例：1 + sin x の逆数

$\int \frac{dx}{1+\sin x}$ は、半角ではうまくいきません。置換の出番です。

分母は $1+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1+2t+t^2}{1+t^2}=\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}$。

分子の $2$ 乗が出てきました。$dx$ と合わせます。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}}dt& =\int \frac{2}{(1+t{)}^2}dt\\ & =-\frac{2}{1+t}+C\end{array}$$

$t$ を戻して $-\frac{2}{1+\tan \frac{x}{2}}+C$。

微分して確かめます。$\frac{2}{(1+t{)}^2}\times \frac{1+t^2}{2}=\frac{1+t^2}{(1+t{)}^2}$。

一方 $\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1}{\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{(1+t{)}^2}$。一致しました。

例：sin x の逆数

$\int \frac{dx}{\sin x}$ も置換で片づきます。

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ を入れます。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}dt& =\int \frac{dt}{t}\\ & =\log |t|+C\\ & =\log \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C\end{array}$$

$\frac{1}{t}$ という最も簡単な形になりました。

分母が $2+\cos x$ のように定数がずれると、$\frac{2}{t^2+3}$ のような形が残ります。

こうなったら $t=\sqrt{3}\tan \phi$ と置く別の置換に移ります。1 回で終わらないこともある。

単位円の有理点との関係

この置換には、図形としての意味があります。点 $(-1,0)$ から傾き $t$ の直線を引いてみます。

円と交わるもう 1 つの点が $\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$ です。

直線が $x$ 軸となす角が $\frac{x}{2}$ になるのは、円周角の定理から出ます。中心角の半分だからです。

$t$ が有理数なら、交点の座標も有理数になります。分数式に有理数を入れているだけなので。

$t=\frac{1}{2}$ なら $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$。$3$、$4$、$5$ の直角三角形が出てきました。

$t=\frac{2}{3}$ なら $\left(\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right)$ で $5$、$12$、$13$。積分の道具が、整数の話につながっています。

使わないほうがよい場合

万能ですが、式が膨らみます。ほかの手があるならそちらが速い。

$\int {\sin }^{3}xdx$ は $\sin$ を 1 つ外して $u=\cos x$ と置けば 3 行で終わります。置換を当てると分数式の割り算になり、遠回りです。

$\int \sin 3x\cos xdx$ も積和で開けば済みます。

置換が要るのは、$\sin$ や $\cos$ が分母に入っていて、しかも半角では消えない形です。

$\frac{1}{1+\sin x}$、$\frac{1}{2+\cos x}$、$\frac{1}{\sin x+\cos x}$ などが当てはまります。

まちがえやすい点

$\cos x$ の分子を $t^2-1$ とする符号ミスが最も多い。$1-t^2$ で、$1$ が先です。

$t=0$ で確かめられます。$x=0$ なので $\cos 0=1$。$\frac{1-0}{1+0}=1$ で合います。

$dx$ を $dt$ に替え忘れる誤りもよく起きます。$\frac{2}{1+t^2}$ を掛けるのを忘れると、答えが別物になる。

$t$ を戻し忘れる形も減点になります。答えは $x$ の式で書きます。

定積分では積分区間も $t$ に直します。$x$ の区間をそのまま使うと値が変わります。

積分の形も確かめます。

半角の公式から 3 本を作り、分母をそろえて有理式に落とす。最後の手段として持っておく置換です。

参考文献