アダマールの3円定理

アダマールの 3 円定理は、同心円上での正則関数の最大値が対数凸であることを主張する。この定理は最大値原理を精密化したもので、関数の増大度を評価する際に威力を発揮する。

定理の主張

$f$ を閉環状領域 ${z : r_{1} \leq ∣ z ∣ \leq r_{2}}$ で正則かつ連続な関数とする。 $r_1 < r < r_2$ に対して

$M (r) = ∣ z ∣ = r max ∣ f (z) ∣$

と定義する。このとき $lo g M (r)$ は $lo g r$ の凸関数である。すなわち

$lo g M (r) \leq \frac{lo g r _{2} - lo g r}{lo g r _{2} - lo g r _{1}} lo g M (r_{1}) + \frac{lo g r - lo g r _{1}}{lo g r _{2} - lo g r _{1}} lo g M (r_{2})$

が成り立つ。

最大値原理

$∣ f (z) ∣$ は内部で最大値を取らない

3 円定理

$lo g M (r)$ が $lo g r$ について凸。最大値原理のより精密な評価

幾何学的解釈

3 つの同心円 $∣ z ∣ = r_{1}$ , $∣ z ∣ = r$ , $∣ z ∣ = r_{2}$ を考える。定理の名前はここに由来する。中間の円上での最大値 $M (r)$ は、両端の円上での最大値 $M (r_{1})$ , $M (r_{2})$ から内挿的に評価できる。

グラフで見ると、 $(lo g r, lo g M (r))$ の点を $\log r_1 < \log r < \log r_2$ の範囲でプロットしたとき、これらの点は両端を結ぶ直線の下側（または直線上）に位置する。

証明の概略

$α$ を実数として $g (z) = f (z) z^{α}$ を考える。 $∣ z ∣ = r$ 上で $∣ g (z) ∣ = ∣ f (z) ∣ r^{α}$ なので

$∣ z ∣ = r max ∣ g (z) ∣ = M (r) r^{α}$

となる。最大値原理により、この値は $r_{1}$ または $r_{2}$ の円上で達成される。したがって

$M (r) r^{α} \leq max {M (r_{1}) r_{1}^{α}, M (r_{2}) r_{2}^{α}}$

$α$ を適切に選ぶと、両端で等しくなる条件から凸性の不等式が導かれる。

応用：増大度の評価

整関数の増大度を調べる際に 3 円定理が活躍する。 $f$ が整関数で $M (r) = max_{∣ z ∣ = r} ∣ f (z) ∣$ とすると、 $lo g M (r)$ の $lo g r$ に関する振る舞いから、 $f$ の位数や型を決定できる。

位数

ρ

$ρ = lim sup_{r \to \infty} \frac{l o g l o g M ( r )}{l o g r}$

型

σ

$σ = lim sup_{r \to \infty} \frac{l o g M ( r )}{r ^{ρ}}$

3 円定理から、 $lo g M (r)$ が急激に振動することはなく、滑らかに増大することが分かる。

一般化：n 円定理

3 円定理は任意個の同心円に一般化できる。 $r_1 < r_2 < \cdots < r_n$ に対して $(lo g r_{k}, lo g M (r_{k}))$ の点列は凸包の境界上にある。

また、環状領域だけでなく帯状領域版も知られている。帯状領域 $\{z : a < \mathrm{Re}\, z < b\}$ における最大値を $M (x) = sup_{Re z = x} ∣ f (z) ∣$ とすると、 $lo g M (x)$ は $x$ の凸関数となる。これをフラグメン・リンデレーフの定理と呼ぶ。

等号成立条件

不等式で等号が成立するのは $f (z) = c z^{n}$ （ $c$ は定数、 $n$ は整数）の場合に限る。このとき $M (r) = ∣ c ∣ r^{n}$ となり、 $lo g M (r) = lo g ∣ c ∣ + n lo g r$ は $lo g r$ の一次関数（凸でも凹でもない直線）だ。