アダマールの三円定理と三直線定理、最大値の対数はなぜ凸になるのか

円環で正則な関数について、円周上の最大値の対数が、半径の対数の凸関数になります。

$M(r)$ を $|z|=r$ での $|f|$ の最大値とする。3 つの半径 $r_1<r_2<r_3$ をとると、真ん中の値が両端で押さえられます。

$$\log \frac{r_3}{r_1}\cdot \log M(r_2)\le \log \frac{r_3}{r_2}\cdot \log M(r_1)+\log \frac{r_2}{r_1}\cdot \log M(r_3)$$

最大値原理は、内側の値が境界で押さえられると言いました。三円定理はそれを定量的にして、どれくらい押さえられるかを不等式で書きます。

対数目盛りでグラフを描くと、曲線が弦の下に来る。凸性という 1 語で言い切れる形になります^[1]。

別の書き方

不等式は積の形にも直せます。$\log$ を外すと見やすい。

$$M(r_2{)}^{\log (r_3/r_1)}\le M(r_1{)}^{\log (r_3/r_2)}M(r_3{)}^{\log (r_2/r_1)}$$

$r_2$ が $r_1$ に近ければ、右辺はほぼ $M(r_1)$ の何乗かになります。両端の値の、位置で決まる重み付き幾何平均。

$t$ を $\log r_2$ が $\log r_1$ と $\log r_3$ を内分する比とすると、次の形になります。

$$M(r_2)\le M(r_1{)}^{1-t}M(r_3{)}^t$$

$t=0$ なら $M(r_1)$、$t=1$ なら $M(r_3)$ で、両端で等号。間では幾何平均で押さえられる。

証明の筋

補助関数 $z^{a}f(z{)}^b$ を考えます。$a$ と $b$ は、あとで都合よく選ぶ数。

$|z^{a}f(z{)}^b|$ の対数は $a\log |z|+b\log |f(z)|$ です。$\log |f|$ は $f$ に零点がなければ調和なので、この式も調和になる^[6]。

調和関数の最大値原理から、円環での最大は 2 つの境界のどちらかでとられます^[4,5]。

$a$ を選んで、内側の円と外側の円での上界を等しくする。すると円環全体でその値が上界になり、真ん中の円での評価が出ます。

零点があるときは、少し手当てが要ります。零点を含む小さな円を除いて議論するか、極限をとる。結論は変わりません。

等号の場合

不等式が等号になるのは、$f$ が $c{z}^{\lambda }$ の形のときだけです。そうでなければ、$\log M$ は狭義に凸。

$f(z)=c{z}^{\lambda }$ なら $M(r)=|c|r^{\lambda }$ で、$\log M(r)=\log |c|+\lambda \log r$ です。$\log r$ の 1 次式なので、凸性の境目にあたる。

$\lambda$ は整数でなくてもよい。円環では $z^{\lambda }$ の分枝が選べる場合があるので、非整数でも成り立ちます。

例：多項式

$f(z)=1+z^3$ の最大値は $M(r)=1+r^3$ です。$|z^3|=r^3$ なので、$z^3$ が正の実数になる向きで最大になる。

$t=\log r$ とすると $\log M=\log (1+e^{3t})$。$t$ が小さいところではほぼ $0$ で、大きいところではほぼ $3t$ に近づきます。

グラフは折れ線をなめらかにした形で、確かに下に凸。傾きが $0$ から $3$ へ移り、次数が傾きの上限として現れます。

3 つの円で見る

3 つの円を描いて、それぞれの上での最大値を比べます。真ん中の円が両端に近いほど、評価は厳しくなる。

上界の線が本当の最大値の上に来ています。両端では 2 つが一致し、間では上界のほうが余裕を持つ。

3 直線定理

同じ主張を、円環ではなく帯で述べた形もあります。指数写像で移し合えるので、中身は同じ。

$a\le \mathrm{Re}z\le b$ という帯で $f$ が有界かつ正則、$M(x)$ をその直線上での上限とする。このとき $\log M(x)$ は $x$ の凸関数です^[2]。

$$M(x)\le M(a{)}^{1-t}M(b{)}^t(x=(1-t)a+tb)$$

証明も同じ形。$M(a)$ と $M(b)$ のべきを掛けて両端で $1$ 以下になる補助関数を作り、最大値原理を当てます。

帯は有界でないので、そのままでは最大値原理が使えません。$e^{z^2/n}$ を掛けて遠方を押さえ、$n$ を大きくして極限をとる、という一手間が入ります。

フラグメン・リンデレーフの原理

帯や扇形は有界でないので、最大値原理をそのまま使えません。境界で押さえられていても、内部で発散する例が作れます。

そこで、遠方での増大に条件を付けます。増え方が一定の速さを超えなければ、境界の上界が内部でも成り立つ。

扇形の中心角が $\pi /\lambda$ のとき、$|f|\le e^{C|z{|}^{\rho }}$ が $\rho <\lambda$ で成り立てばよい、という形です。角が鋭いほど、許される増大が速くなります^[3]。

補助関数を掛けて遠方を潰し、有界な部分で最大値原理を当ててから極限をとる。3 直線定理の証明と同じ手つきです。

補間への応用

3 直線定理は、作用素の評価を補間する道具になります。2 つの端点で評価が分かっていれば、間の評価が幾何平均で出る。

リース・トリンの補間定理がその代表です。関数空間の指数を複素数へ延ばし、帯の上の正則関数として扱う。

不等式の証明に複素解析を持ち込む筋道として、実解析の側でもよく使われます。

増大度の評価

整関数の位数を調べるときにも効きます。$\log M(r)$ の増え方が、凸性のおかげで扱いやすくなる。

凸関数の傾きは単調です。だから $\log M(r)/\log r$ のような量の振る舞いが押さえられ、位数の定義が安定して働きます。

ゼータ関数の増大についても、同じ形の凸性が使われます。虚部を大きくしたときの増え方を実部の関数として見ると、それが凸になる。

臨界帯の中での評価が、両端での評価から補間できるようになります。未解決の予想も、この凸性からどれだけ改善できるかという形で述べられる^[7]。

よくある誤り

最大値原理は、内側が境界で押さえられるとだけ言いました。三円定理はそこに目盛りを入れて、どれくらい押さえられるかを凸性 1 語で書きます。定性的な主張が定量的な道具へ変わる、いい例です。

参考文献