偏角の原理とルーシェの定理

偏角の原理は、関数の零点と極の個数を積分で数える方法です。ルーシェの定理は、この原理を応用して零点の個数を調べます。

偏角の原理

$f(z)$ が閉曲線 $C$ の内部で、零点と極を除いて正則であるとき

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=N-P$$

ここで $N$ は内部の零点の個数（重複度込み）、$P$ は極の個数（位数込み）です。

なぜこの式が成り立つのか

$f(z)=(z-a{)}^{m}g(z)$（$g(a)\ne 0$）のとき

$$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{m}{z-a}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}$$

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$ は $z=a$ で 1 位の極を持ち、留数は $m$ です。

零点では $m>0$、極では $m<0$ なので、留数の総和が $N-P$ になります。

偏角の変化量との関係

積分 ${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$ は $\log f(z)$ の変化量です。

$\log f(z)=\log |f(z)|+i\arg f(z)$ なので、閉曲線を一周すると $\log |f|$ は元に戻り、$\arg f$ の変化量だけが残ります。

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi }{\Delta }_C\arg f(z)$$

右辺は「$C$ に沿って $f$ の偏角がどれだけ変化するか」を $2\pi$ で割ったものです。これが「偏角の原理」という名前の由来です。

ルーシェの定理

$f(z)$ と $g(z)$ が閉曲線 $C$ とその内部で正則で、$C$ 上で

$$|f(z)-g(z)|<|f(z)|$$

が成り立つなら、$f$ と $g$ は $C$ の内部に同じ個数の零点を持ちます。

直感的には、$g$ は $f$ に「近い」ので、零点の個数も同じになるということです。

ルーシェの定理の応用

$p(z)=z^5+z+1$ が単位円板 $|z|<1$ 内に持つ零点の個数を求めます。

$f(z)=z^5$、$g(z)=z^5+z+1$ とおきます。$|z|=1$ 上で

$$|g(z)-f(z)|=|z+1|\le 2,|f(z)|=|z^5|=1$$

これでは条件を満たしません。そこで $f(z)=z+1$、$g(z)=z^5+z+1$ としてみます。

$|z|=1$ 上で $|g-f|=|z^5|=1$ かつ $|f|=|z+1|$ です。$|z+1|$ の最小値は $z=-1$ のとき 0 ですが、$z\ne -1$ では $|z+1|>0$ で、多くの点で $|z+1|>1$ です。

実際、$|z|=1$ かつ $z\ne -1$ で $|z+1|>1$ となる範囲は $|z|=1$ のほとんどを覆います。より詳しい評価で、ルーシェの定理から $g$ の零点の個数がわかります。

代数学の基本定理の別証明

$n$ 次多項式 $p(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0$ を考えます。

十分大きな $R$ で $|z|=R$ 上では $|p(z)-z^n|<|z^n|$ が成り立ちます（低次の項は $z^n$ より小さいため）。

ルーシェの定理から、$p(z)$ と $z^n$ は $|z|<R$ 内に同じ個数の零点を持ちます。$z^n$ の零点は原点だけで、重複度 $n$ です。したがって $p(z)$ も $n$ 個の零点を持ちます。