零点はいくつあるか……偏角の原理とルーシェの定理で数える

零点と極の個数は、積分で数えられます。

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=Z-P$$

$Z$ は $C$ の内部の零点の個数、$P$ は極の個数で、どちらも重複と位数を込めて数えます。これが偏角の原理です^[1]。

数えるという離散的な操作が、積分という連続的な操作で書けてしまう。しかも中身を調べる必要はなく、境界の上での振る舞いだけを見ればよい。

左辺は、$C$ にそって $f$ の像が原点のまわりを何周するかと同じ値です。だから式を見ずに、絵で数えることもできます。

対数微分

$f^{\prime }/f$ という組み合わせを対数微分と呼びます。$\log f$ を微分した形。

零点や極の近くでの姿を見ると、なぜこれが数を運ぶのか分かります。$f(z)=(z-a{)}^{m}g(z)$、$g(a)\ne 0$ と書ける場合を考える。

$$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{m}{z-a}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}$$

第 2 項は $a$ の近くで正則です。したがって $f^{\prime }/f$ は $a$ で 1 位の極を持ち、留数はちょうど $m$。

零点なら $m$ は正の整数で、極なら負の整数です。位数がそのまま留数として出てくる。

留数定理を当てれば、留数の総和が $Z-P$ になります^[3,4]。偏角の原理はこれで出ます。

偏角という名前の由来

積分の中身を $\log f$ の微分と見ると、値の意味が変わって見えます。

$${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz={\Delta }_C\log f(z)={\Delta }_C\log |f(z)|+i{\Delta }_C\arg f(z)$$

$C$ を一周すると $|f|$ はもとの値に戻るので、実部の変化は $0$ です。残るのは偏角の変化だけ。

$$Z-P=\frac{1}{2\pi }{\Delta }_C\arg f(z)$$

名前は、偏角が $2\pi$ の何倍だけ増えたかを数えるところから来ています。像が原点のまわりを回った数と同じ意味になります。

例：多項式の零点を数える

$p(z)=z^3-1$ を単位円で調べます。零点は 1 の 3 乗根で、どれも $|z|=1$ の上。

境界に零点があると原理は使えません。半径を $1.2$ にとり直します。

$|z|=1.2$ の上で $p$ の像を追うと、原点のまわりを 3 周する。したがって $|z|<1.2$ の中に零点が 3 個あります。

半径を $0.9$ にすると、像は原点を囲みません。回転数は $0$ で、内部に零点がないことが分かります。

極があると引かれる

零点は回転数を増やし、極は減らします。$1/(z-a)$ を $a$ を囲む円で見ると、像は原点のまわりを逆向きに 1 周する。

零点と極が同じ数だけ入っていれば、回転数は $0$ です。中身が空だという意味ではなく、打ち消し合っただけ。

だから偏角の原理は個数そのものではなく、差しか教えません。個数を分けて知りたいときは、零点だけを持つ関数に組み替える必要があります。

例：有理関数で確かめる

$f(z)=\frac{(z-0.4)(z-0.7)}{z+0.6}$ を、原点中心の円で見ます。

半径が $0.4$ より小さいと、中には何も入りません。回転数は $0$。

半径を $0.5$ にすると零点が 1 つ入り、回転数は $1$ になります。$0.65$ まで広げると極も入り、$1-1=0$ へ落ちる。

$0.8$ まで広げれば零点が 2 つと極が 1 つで、$2-1=1$ です。増えたり減ったりする様子が、零点と極の位置をそのまま映します。

ルーシェの定理

比較の形にした主張があります。$C$ の上で次が成り立つとする。

$$|g(z)|<|f(z)|$$

このとき $f$ と $f+g$ は、$C$ の内部に同じ個数の零点を持ちます。$f$ と $f+g$ はどちらも $C$ とその内部で正則とします^[2]。

不等式は $C$ の上でだけ要ります。内部での大小は問いません。

証明は偏角の原理から。$1+g/f$ の値は $|g/f|<1$ より右半平面の単位円板の中にあり、原点を囲めません。だから $\arg (1+g/f)$ の変化は $0$ で、$f+g=f(1+g/f)$ の偏角の変化は $f$ のそれと一致します。

犬に鎖をつけて散歩する絵で説明されることがあります。人が原点のまわりを歩き、鎖の長さが人と原点の距離より短ければ、犬も同じ回数だけ回る。

対称な形

もう少しゆるい条件で済ませる形もあります。$C$ の上で次が成り立てばよい。

$$|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|$$

この条件は、$f$ と $g$ が $C$ 上で同時に消えず、しかも決して真逆を向かないことを意味します。どちらを主役にするか選ばなくてよいので扱いやすい。

もとの形は $g$ を $f$ に足す書き方でしたが、こちらは 2 つの関数を対等に並べます。

例：単位円板の中の零点を数える

$p(z)=z^5+3z+1$ が $|z|<1$ に持つ零点の個数を求めます。

主役を $3z$ にとる。$|z|=1$ の上で $|z^5+1|\le 2<3=|3z|$ が成り立ちます。

$3z$ の零点は原点だけなので、$p$ の零点も 1 個。半径を $2$ に広げると主役が変わります。

$|z|=2$ の上では $|3z+1|\le 7<32=|z^5|$ です。$z^5$ の零点は重複を込めて 5 個なので、$|z|<2$ に 5 個。

差し引き、$1<|z|<2$ の輪の中に 4 個あることが分かります。方程式を解かずに、根のいる場所が絞れました。

例：超越方程式にも使える

$e^z=3z^4$ の解が $|z|<1$ にいくつあるかを調べます。

$f(z)=-3z^4$、$g(z)=e^z$ とおく。$|z|=1$ の上で $|e^z|\le e^{\mathrm{Re}z}\le e<3=|3z^4|$ です。

したがって $e^z-3z^4$ の零点の個数は $-3z^4$ と同じで、4 個。多項式でなくても、大きさの比較さえできれば数えられます。

例：代数学の基本定理

$p(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0$ を考えます。主役を $z^n$ にとる。

$|z|=R$ の上で、残りの項の和は $R^{n-1}$ の程度です。$R$ を十分大きくとれば $|z^n|$ が勝ちます。

$z^n$ は原点に $n$ 位の零点を持つので、$p$ も $|z|<R$ に重複を込めて $n$ 個の零点を持ちます。この証明の得なところは、根の存在だけでなく個数まで一度に出ることです^[7]。

極限に移っても零点は消えない

正則関数の列が広義一様収束するとき、零点の様子も引き継がれます。フルヴィッツの定理と呼ばれる結果です^[5]。

極限 $f$ が $z_0$ で $m$ 位の零点を持つなら、小さな円板をとって $n$ を大きくすれば、$f_n$ もその中にちょうど $m$ 個の零点を持つ。

証明は偏角の原理から。$f_n^{\prime }/f_n$ が $f^{\prime }/f$ へ一様に収束するので、積分値も収束します。整数値なので、いつかは一致する。

系として、零点を持たない関数の列の極限は、恒等的に $0$ でなければ零点を持ちません。単葉な関数の列の極限も、単葉か定数のどちらかになります。

開写像定理と逆関数

ルーシェの定理は、値のとり方についても答えます。$f(z)-w_0$ の零点の個数を数える形に読み替えればよい。

$w$ を $w_0$ の近くで動かしても、零点の個数は変わりません。したがって $f$ は $w_0$ のまわりの値をすべてとり、像が開集合になります^[6]。

$f^{\prime }(z_0)\ne 0$ なら零点は 1 位なので、個数はちょうど 1 個。近くで 1 対 1 になり、逆関数が作れます。

$f^{\prime }(z_0)=0$ で零点が $m$ 位なら、近くの値は $m$ 回ずつとられる。$m$ 対 1 の写像として振る舞います。

数値計算での使い方

根を求めるアルゴリズムでも、この原理が使われます。まず領域に根がいくつあるかを積分で数え、区画を分けて絞り込む。

計算するのは境界にそう積分だけなので、内部を調べずに済みます。個数は整数なので、多少の誤差があっても丸めれば正しい値が出る。

零点を数える手順と、根を求める手順を分けられる点が実用上の利点です。

よくある誤り

数を積分で数える、という発想はここから先も繰り返し現れます。位相的な量を解析の道具でとり出す最初の例として、覚えておく値打ちのある定理です。

参考文献