とりこぼす値はいくつか……ピカールの小定理と大定理が言い切る

定数でない整関数は、高々 1 つの値を除いてすべての複素数を値にとります。落とせるのはたった 1 個。

これがピカールの小定理です^[1]。有界な整関数は定数だ、というリウヴィルの定理を、はるかに強くした形になっています。

大定理はもっと強い。真性特異点のどんな小さな近傍でも、高々 1 つの例外を除くすべての値を、無限回とります。

近づくのではなく、実際にその値をとる^[2]。しかも 1 回ではなく無限回です。

小定理

主張はこうです。$f$ が複素平面全体で正則で定数でないなら、$f$ の像は $\mathbb{C}$ そのものか、$\mathbb{C}$ から 1 点を除いたもの。

つまり、2 つ以上の値を落とすことはできません。落とせるとしたら 1 個まで。

多項式なら 1 つも落としません。代数学の基本定理から、$p(z)=w$ はどの $w$ についても解を持ちます。

落とす値が本当に現れるのは、超越整関数の場合です。

例：指数関数

$e^z$ は $0$ という値だけをとりません。それ以外の複素数はすべて、しかも無限個の $z$ で実現されます。

$e^z=w$ を解くと $z=\log w+2\pi in$ です。$w\ne 0$ なら $n$ ごとに解があり、無限個。

$w=0$ のときだけ解がありません。$|e^z|=e^{\mathrm{Re}z}$ が正の数なので、決して $0$ にならない。

小定理の言う例外が、ちょうど 1 つ現れる例です。$e^z+3$ なら例外は $3$ で、平行移動すれば例外の位置も動きます。

リウヴィルからピカールまで

同じ主題について、強さの違う 3 つの主張が並びます。

下へ行くほど結論が強くなります。像が広いというだけの主張から、抜ける値の個数まで数えた主張へ^[3,4]。

大定理

$f$ が $a$ で真性特異点を持つとします。$a$ を抜いたどんな小さな近傍をとっても、$f$ の像は高々 1 点を除く複素平面全体。

しかも、それぞれの値は無限個の点でとられます。「近づく」ではなく「とる」であることと、「無限回」であることが、カゾラーティ・ワイエルシュトラスとの差です。

有理型の場合は例外が 2 つまで許されます。$\infty$ という値も数えるためで、極を持つ関数では $\infty$ が例外にならない側へ回る。

例：$e^{1/z}$ が原点の近くでとる値

$w\ne 0$ に対して $e^{1/z}=w$ を解きます。

$$z=\frac{1}{\log w+2\pi ik}$$

$k$ を大きくすると分母の絶対値が大きくなり、$z$ は $0$ へ近づく。だからどんな小さな近傍にも、解が無限個入ります。

$w=0$ だけは解を持ちません。例外がちょうど 1 つ現れる形です。

極なら像は外側の環に押しやられ、除去可能なら 1 点のまわりに縮まります。真性特異点だけが、枠のすみずみまで埋める。

大定理から小定理が出る

整関数は、無限遠点での振る舞いで 2 つに分かれます。多項式か、そうでないか。

多項式なら $\infty$ は極です。代数学の基本定理から、どの値もとります。

多項式でなければ、$\infty$ は真性特異点。$g(w)=f(1/w)$ の原点まわりの展開に、正の次数が無限に現れるためです。

そこへ大定理を当てると、高々 1 つの例外を除いてすべての値を無限回とることが出ます。これが小定理。

例外がちょうど 1 つになる理由

例外が 2 つ以上ありえないことは、被覆の言葉で説明されます。

$0$ と $1$ を抜いた平面には、単位円板からの正則な普遍被覆があります。モジュラー $\lambda$ 関数と呼ばれる写像。

$f$ が $0$ と $1$ を落とすなら、$f$ を被覆へ持ち上げられます。持ち上げた関数は平面全体から円板への正則写像なので、有界。

リウヴィルの定理から定数になり、$f$ も定数です。落とせる値が 1 つまでだという結論が、ここから出ます^[1]。

例外の位置は自由です。$e^z+c$ の例外は $c$ で、どこへでも置けます。個数だけが 1 つに縛られる。

正規族による証明

もう 1 つの筋が、正規族を使う方法です。モンテル・カラテオドリの定理を土台にします。

球面の相異なる 3 値を落とす有理型関数の族は、正規である^[5,6]。この定理から大定理が導けます。

真性特異点 $a$ のまわりで $f$ が 2 値を落とすと仮定する。縮小した円環の上で $f_n(z)=f(z/2^n)$ という族を作ると、これが正規になる。

正規性から部分列が広義一様収束し、$f$ が $a$ で極か除去可能特異点を持つことが出ます。真性という仮定に反する。

定量的な形

ピカールの定理には、数値で押さえた形もあります。ショットキーの定理と呼ばれるもの。

$f$ が単位円板で正則、$0$ と $1$ を落とし、$|f(0)|$ が与えられているとする。このとき $|z|\le r<1$ での $|f(z)|$ の上界が、$|f(0)|$ と $r$ だけで決まります。

ランダウの定理も同じ系列です。$f(0)$ と $f^{\prime }(0)$ を決めると、$0$ と $1$ を落とせる円板の半径に上限が付く。

これらから、極限の議論を経ずにピカールの定理を導くこともできます。定量的な評価のほうが、応用では使いやすい場面もある。

例外値の探し方

具体的な関数の例外値は、方程式を解いて調べます。$f(z)=w$ に解がないような $w$ を探す。

$\sin z$ には例外がありません。$\sin z=w$ は $e^{iz}$ についての 2 次方程式に直り、どの $w$ でも解を持ちます。

$e^z$ の例外は $0$、$e^{e^z}$ の例外も $0$ です。指数関数を重ねても、落ちる値は増えません。

$z{e}^z$ には例外がありません。$z=0$ で $0$ をとり、それ以外の値も拾います。落とす値を持つ整関数のほうが、むしろ特別。

有理型の場合

有理型関数では、球面の値として $\infty$ も数えます。例外は 2 つまで。

$e^{1/z}$ は原点の近くで $0$ と $\infty$ を落とします。ちょうど 2 つの例外が出る例。

$\tan (1/z)$ は原点が真性特異点ではありませんが、極が原点へ集まる非孤立特異点です。ピカールの枠の外になります^[7,8]。

よくある誤り

真性特異点のまわりでは、関数が値をほとんどとり尽くします。そのことを、抜ける値をきっちり 1 個まで数え上げる形で言い切ったものがピカールの定理です。カゾラーティ・ワイエルシュトラスの「稠密」から、ここまで踏み込めます。

参考文献