対数関数のグラフと性質

対数関数 $y = lo g_{a} x$ は、指数関数 $y = a^{x}$ の逆関数です。「 $a$ を何乗したら $x$ になるか」を表す関数で、グラフは指数関数と密接な関係があります。

対数関数の定義

$a > 0$ 、 $a \neq = 1$ 、 $x > 0$ のとき、 $y = lo g_{a} x$ は「 $a^{y} = x$ となる $y$ 」を表します。

つまり $y = lo g_{a} x$ と $a^{y} = x$ は同じことを意味しています。

底 $a$ の値によってグラフは2種類に分かれます。

a > 1

のとき

右上がりのグラフ（単調増加）。 $x$ が増えると $y$ も増える。

0 < a < 1

のとき

右下がりのグラフ（単調減少）。 $x$ が増えると $y$ は減る。

底の値に関係なく、次の性質が成り立ちます。

(1, 0)

を通る（

lo g_{a} 1 = 0

より）

y

軸（

x = 0

）が漸近線

定義域は

x > 0

（負の数や 0 の対数は定義されない）

値域は全実数

$y = lo g_{a} x$ と $y = a^{x}$ は逆関数の関係にあるので、グラフは直線 $y = x$ に関して対称です。

逆関数とは

$y = f (x)$ の逆関数は、 $x$ と $y$ を入れ替えた関数です。 $y = a^{x}$ で $x$ と $y$ を入れ替えると $x = a^{y}$ 、つまり $y = lo g_{a} x$ になります。

対称性の意味

点 $(2, 4)$ が $y = 2^{x}$ 上にあれば、点 $(4, 2)$ が $y = lo g_{2} x$ 上にあります。

$y = lo g_{2} x$ のグラフを考えます。

$x$ が 2 倍になるごとに $y$ は 1 増えます。指数関数の「爆発的増加」と対照的に、対数関数は「ゆるやかな増加」を示します。

$x$ が大きくなると、 $lo g x$ の増加は非常にゆるやかになります。

$lo g_{2} 1000 \approx 10$ ですが、 $lo g_{2} 1000000 \approx 20$ です。 $x$ が 1000 倍になっても $y$ は 10 しか増えません。

このため、大きな数を扱うときに対数を使うと便利です（地震のマグニチュード、音のデシベルなど）。

$y = lo g_{a} (x - p) + q$ は、 $y = lo g_{a} x$ を $x$ 方向に $p$ 、 $y$ 方向に $q$ 平行移動したグラフです。漸近線は $x = p$ に移動します。