対数関数のグラフと性質〜指数関数を y = x で折り返した形

$y = lo g_{2} x$ の値を並べると、 $x$ が $2$ 倍になるたびに $y$ が $1$ ずつ増えます。

$x = 0.25$	$y = - 2$
$x = 0.5$	$y = - 1$
$x = 1$	$y = 0$
$x = 2$	$y = 1$
$x = 4$	$y = 2$
$x = 8$	$y = 3$

左の列はかけ算で進み、右の列は足し算で進む。この対応が対数関数のすべてです。

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ という法則も、表を横に読んだだけの内容になります^[4]。

指数関数を裏返した形

$y = lo g_{a} x$ は「 $a$ を何乗すると $x$ になるか」を答える関数です。 $a^{y} = x$ と同じ内容を、 $y$ について書き直したもの^[3]。

$x$ と $y$ の役割を入れかえただけなので、グラフは直線 $y = x$ に関して $y = a^{x}$ と対称になります。

$(3, 8)$ が $y = 2^{x}$ 上にあれば、 $(8, 3)$ が $y = lo g_{2} x$ 上にある。座標を入れかえるだけで移れます。

片方のグラフが描けていれば、もう片方は折り返しで描けます。

指数関数が縦軸で $1$ になる点は、対数関数では横軸の $1$ にあたります。

通る点は $(1, 0)$ と $(a, 1)$

$a^{0} = 1$ から $lo g_{a} 1 = 0$ 。底が何であっても $(1, 0)$ を通ります^[1]。

$a^{1} = a$ から $lo g_{a} a = 1$ なので $(a, 1)$ も通る。ここに底そのものが現れます。

グラフから底を読むときは、 $y = 1$ の高さで横座標を見ればよい。 $(5, 1)$ を通るなら底は $5$ です。

$y$ 軸との交点はありません。 $x = 0$ が定義域の外にあるためです。

定義域が正の数だけになる理由

$lo g_{2} (- 8)$ を求めるとは、 $2^{y} = - 8$ となる $y$ を探すことです。 $2^{y}$ はいつでも正なので、そんな $y$ は存在しません。

$lo g_{2} 0$ も同じ。 $2^{y} = 0$ になる $y$ はありません。 $y$ を下げるといくらでも $0$ に近づきますが、届かない。

だから定義域は $x > 0$ 、値域は実数全体になります^[3]。指数関数と定義域・値域がちょうど入れかわった形です。

$y = lo g_{4} (2 x - 3)$ のような式では、中身が正になる範囲を先に出します。 $2 x - 3 > 0$ から $x > \frac{3}{2}$ ^[1]。

真数条件と呼ばれるこの手順は、定義域を書き出す作業そのもの。方程式や不等式でも最初に置きます。

底で向きが決まる

a > 1

のとき

右上がり。 $x$ を大きくすると値も大きくなり、 $x$ を $0$ に近づけると下へ落ちていく

0 < a < 1

のとき

右下がり。 $x$ を大きくすると値は下がり、 $x$ を $0$ に近づけると上へ伸びる

底が $1$ より小さい場合は、 $lo g_{1/2} x = - lo g_{2} x$ と書き直せます。 $x$ 軸に関する折り返しです。

$y$ 軸が漸近線になる点は、どちらの底でも変わりません^[1]。 $x$ を $0$ へ近づけると値は限りなく下か上へ離れていきます。

横に $k$ 倍するのは、縦に $lo g_{a} k$ 足すのと同じ

$y = lo g_{2} (4 x)$ を考えます。積の法則から $lo g_{2} (4 x) = lo g_{2} x + 2$ ^[4]。

$lo g_{a} (k x) = lo g_{a} x + lo g_{a} k$

横に $\frac{1}{4}$ 縮める操作と、縦に $2$ 持ち上げる操作が、同じ 1 本のグラフに着きます。

指数関数では縦の拡大が横の移動と同じでした。対数関数ではその逆で、横の拡大が縦の移動になる。

逆関数どうしなので、縦と横の役割がここでも入れかわっています。

どんなべきよりも増え方が遅い

$x$ は $x$ が $100$ 倍になると $10$ 倍になります。対数はそれよりさらに遅い。

どんなに小さい正のべきが相手でも、対数はいずれ追い越されます^[2]。 $x^{0.01}$ でも同じ。

$2^{10} = 1024$ なので、 $lo g_{2} 1000$ は $10$ より少し小さい値です。 $lo g_{2} 1000000$ はその 2 倍で $20$ 弱。 $x$ が $1000$ 倍になっても、値は $10$ しか増えません。

この鈍さがあるので、桁数の大きく違う量を同じ図に置けます。地震の規模や音の強さで対数が使われる理由もここ。

底を変えると縦に伸び縮みする

$lo g_{4} x$ と $lo g_{2} x$ は別の関数ですが、形は似ています。底の変換公式で並べると理由が見えます^[4]。

$lo g_{4} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} x$

$lo g_{4} x$ は $lo g_{2} x$ を縦に $\frac{1}{2}$ 倍した曲線でした。 $lo g_{8} x$ なら $\frac{1}{3}$ 倍です。

底が $1$ より大きい対数関数は、どれも同じ 1 本を縦に伸び縮みさせた形になる。通る点 $(1, 0)$ が動かないので、 $x$ 軸上の一点を留めたまま上下に縮む形です。

底が $1$ より小さいときは倍率が負になり、 $x$ 軸で裏返ります。 $lo g_{1/2} x = - lo g_{2} x$ がその場合。

例：グラフから式を読む

漸近線が $x = 1$ で、 $(2, 0)$ と $(4, 2)$ を通るグラフの式を求めます。

漸近線の位置から $y = lo g_{a} (x - 1) + q$ の形だと分かる。 $(2, 0)$ を入れると $lo g_{a} 1 + q = 0$ から $q = 0$ です。

残りは $(4, 2)$ から $lo g_{a} 3 = 2$ 。 $a^{2} = 3$ より $a = 3$ となり、式は $y = lo g_{3} (x - 1)$ 。

読む順番は、漸近線、 $x$ 切片、もう 1 点。この 3 つで底と移動量が決まります。

平行移動と漸近線

$y = lo g_{a} (x - p) + q$ は、 $y = lo g_{a} x$ を $x$ 方向に $p$ 、 $y$ 方向に $q$ だけ動かしたグラフです。

横に動かすと漸近線もついていきます。 $x = 0$ だった漸近線が $x = p$ へ移り、定義域は $x > p$ になる^[1]。

縦の移動では漸近線が動きません。 $y$ 軸との位置関係が変わらないためです。

$y = lo g_{2} (x - 3) + 1$ なら漸近線は $x = 3$ 、定義域は $x > 3$ 。 $x = 5$ のとき $lo g_{2} 2 + 1 = 2$ です。

指数関数では縦の移動が漸近線を動かしました。対数関数では横の移動が動かす。ここでも役割が入れかわります。

$y = lo g_{3} (x + 2) - 1$ の漸近線と定義域はどれですか。

漸近線 $x = - 2$ 、定義域 $x > - 2$
漸近線 $x = 2$ 、定義域 $x > 2$
漸近線 $y = - 1$ 、定義域は実数全体

__RESULT__

中身が正になる範囲が定義域なので、 $x + 2 > 0$ から $x > - 2$ です。漸近線は横へ $- 2$ 動いて $x = - 2$ になり、縦の $- 1$ では動きません。

$y = lo g_{2} (8 x)$ は $y = lo g_{2} x$ をどう動かしたグラフですか。

下へ $3$
上へ $3$
右へ $8$

__RESULT__

$lo g_{2} (8 x) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} x = lo g_{2} x + 3$ です。中身を $8$ 倍する操作が、グラフでは上への平行移動になります。

かけ算が足し算に変わる。対数関数の性質は、この一行から順に引き出せます。

参考文献

Graphs of Logarithmic Functions. College Algebra 2e, OpenStax.

Croissances comparées. Université en ligne, UNISCIEL.

Logarithmic function. Encyclopedia of Mathematics.

Rechnen mit Logarithmus. Serlo Education.

$\log_{2} x$ の表は、左の列が掛け算で進み、右の列が足し算で進みます。$\log_{a}(xy) = \log_{a} x + \log_{a} y$ は、その表を横に読んだだけの内容。指数関数を $y = x$ で折り返した形なので、定義域と値域が入れかわり、$(1, 0)$ と $(a, 1)$ を通って $y$ 軸が漸近線になります。指数関数では縦の拡大が横の移動と同じでしたが、対数関数では横の拡大が縦の移動になる。底を変えると縦に伸び縮みすること、$\sqrt{x}$ よりも増え方が遅いこと、グラフから底と移動量を読む手順まで。