点と直線の距離の公式

点から直線までの距離を求める公式は、図形と方程式の中でも特に重要です。円と直線の位置関係や、三角形の面積計算などで頻繁に使います。

公式

点 $(x_{1}, y_{1})$ から直線 $a x + b y + c = 0$ までの距離 $d$ は次の式で求められます。

$d = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

分子は点の座標を直線の式に代入した値の絶対値、分母は $a$ と $b$ の二乗和の平方根です。

点 $(3, 4)$ から直線 $3 x + 4 y - 10 = 0$ までの距離を求めてみましょう。

公式に代入すると、

$d = \frac{∣3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 10∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣9 + 16 - 10∣}{9 + 16} = \frac{∣15∣}{25} = \frac{15}{5} = 3$

となり、距離は 3 です。

直線の式の形に注意

公式を使うには、直線が $a x + b y + c = 0$ の形になっている必要があります。 $y = 2 x + 3$ のような形なら、 $2 x - y + 3 = 0$ と変形してから使いましょう。

絶対値を忘れずに

分子には絶対値がつきます。距離は常に正の値なので、計算結果が負になったら絶対値をとって正にします。

なぜこの公式が成り立つのか、簡単に説明します。

点 $(x_{1}, y_{1})$ から直線 $a x + b y + c = 0$ に垂線を下ろし、その足を H とします。直線に垂直なベクトルは $(a, b)$ の方向を向いています。

点から直線までの距離は、点の位置ベクトルと直線上の任意の点を結ぶベクトルを、法線ベクトル方向に射影した長さに等しくなります。この計算を実行すると、上の公式が導かれます。

原点 $(0, 0)$ からの距離は、公式がより簡単になります。

$d = \frac{∣ c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

$x_{1} = 0$ 、 $y_{1} = 0$ を代入しただけですが、計算が楽になるので覚えておくと便利です。