直線の式は「傾きと 1 点」で決まる。2 点しかないときも同じこと

直線を 1 本に決めるには、情報が 2 つ要ります。通る点を 1 つと傾きを 1 つ、あるいは通る点を 2 つ。どちらでも同じ直線にたどり着きます。

式の形はいくつもありますが、覚えるのは点と傾きの形 1 つで足ります。残りはそこから作れる書き換えです^[1]。

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

傾きとは何か

傾き $m$ は、 $x$ が $1$ 進むあいだに $y$ がいくつ変わるかを表します。分数で書けば $\frac{Δ y}{Δ x}$ です。

青が $1$ の横移動、橙がそれに対する縦の変化です。 $m$ が正なら右上がり、負なら右下がり、 $0$ なら水平になります。

$m$ をいくら大きくしても垂直にはなりません。垂直な直線では $Δ x = 0$ で、割り算ができないからです^[2]。

点と傾きから作る

通る点 $(x_{1}, y_{1})$ と傾き $m$ が分かっているとします。直線上の任意の点 $(x, y)$ について、傾きの定義がそのまま式になります。

$\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}} = m ⟹ y - y_{1} = m (x - x_{1})$

分母を払った右の形が点傾式です。 $x = x_{1}$ でも成り立つので、こちらのほうが扱いやすい^[3]。

例 1：点と傾きから式を作る

点 $(3, - 2)$ を通り、傾き $\frac{4}{5}$ の直線を求めます。

$y + 2 = \frac{4}{5} (x - 3)$

分母を払うと $5 y + 10 = 4 x - 12$ となり、整理して $4 x - 5 y - 22 = 0$ です。

点を代入して $12 + 10 - 22 = 0$ を確かめておきます。作った式に元の点を入れる、この 1 手間で計算ミスがほぼ消えます。

傾きと切片で書く

点として $y$ 切片 $(0, k)$ をとると、点傾式は最も見慣れた形になります。

$y = m x + k$

$m$ が傾き、 $k$ が $y$ 切片です。グラフを描くには便利ですが、 $y$ 軸に平行な直線を書けないという弱みがあります^[2]。

y = m x + k

傾きと切片が一目で読める。 $y$ 軸に平行な直線だけは書けない

a x + b y + c = 0

すべての直線を書ける。傾きや切片は係数から計算する

例 2：切片から式を作る

傾きが $- 3$ で、 $y$ 切片が $7$ の直線を求めます。

$y = - 3 x + 7$ です。一般形に直すと $3 x + y - 7 = 0$ になります。

$x$ 切片も出しておきます。 $y = 0$ として $x = \frac{7}{3}$ 。グラフを描くときは 2 つの切片を結べば十分です。

2 点を通る直線

2 点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ が与えられたら、まず傾きを作ります。

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

これを点傾式に入れれば終わりです^[3]。

$y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$

2 点が上下に動いても、直線は必ずその 2 点を通ります。傾きの値だけが変わる。

分数を残したまま整理すると計算が重くなります。先に分母を払い、 $(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1})$ の形にしてから展開するほうが速い。

例 3：2 点を通る直線

$A (- 1, 5)$ 、 $B (3, - 3)$ を通る直線を求めます。

傾きは $\frac{- 3 - 5}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ です。

$y - 5 = - 2 (x + 1) ⟹ y = - 2 x + 3$

一般形なら $2 x + y - 3 = 0$ です。 $B$ を入れると $6 - 3 - 3 = 0$ で、両方の点を通っています。

分母が $0$ になる場合

$x_{1} = x_{2}$ のとき傾きが作れません。この場合、2 点は縦に並んでいるので直線は $y$ 軸に平行です。

$x = x_{1}$

分母を払った形 $(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1})$ で書いておくと、この場合も自動的に $x = x_{1}$ が出ます。割り算をしないぶん、場合分けが減る^[4]。

$2$ 点を通る直線の式を分母を払った形で覚えておくと、縦に並んだ 2 点でも同じ 1 本の式で処理できます。

$(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1})$ の形。割り算が現れないので例外が出ない。

一般形はすべてを飲み込む

$a x + b y + c = 0$ は、 $a$ と $b$ が同時に $0$ でなければ必ず直線を表します。 $b = 0$ なら $y$ 軸に平行、 $a = 0$ なら $x$ 軸に平行^[1]。

傾きは $b \neq = 0$ のとき $- \frac{a}{b}$ です。 $y$ 切片は $- \frac{c}{b}$ になります。

法線ベクトルが $(a, b)$ で読めるところも便利です。垂直や平行の判定はこの形で行うのが定石。

例 4：一般形から傾きと切片を読む

$6 x - 4 y + 10 = 0$ の傾きと切片を求めます。

$y$ について解きます。

$4 y = 6 x + 10 ⟹ y = \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}$

傾きは $\frac{3}{2}$ 、 $y$ 切片は $\frac{5}{2}$ です。公式 $- \frac{a}{b} = - \frac{6}{- 4} = \frac{3}{2}$ とも合っています。

切片形

$x$ 切片が $p$ 、 $y$ 切片が $q$ で、どちらも $0$ でないとき、直線は次の形に書けます^[3]。

$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$

$y = 0$ とすれば $x = p$ 、 $x = 0$ とすれば $y = q$ です。切片がそのまま分母に出るので、グラフを描くには最も速い形になります。

塗った三角形の面積は $\frac{1}{2} pq$ です。切片形で書いておくと、この種の面積の問題がそのまま解けます。

例 5：切片形を使う

$x$ 切片が $- 4$ 、 $y$ 切片が $6$ の直線を求め、座標軸と作る三角形の面積を出します。

$\frac{x}{- 4} + \frac{y}{6} = 1$

分母を払います。両辺に $12$ を掛けて $- 3 x + 2 y = 12$ 、整理して $3 x - 2 y + 12 = 0$ です。

面積は $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ になります。切片が負でも、長さとしては絶対値を使います。

媒介変数で書く

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り、方向ベクトルが $(u, v)$ の直線は次のように書けます^[2]。

$x = x_{1} + u t, y = y_{1} + v t$

$t$ を動かすと点が直線上を進みます。空間の直線を扱うときは、この形が主役になります。

$t$ を消せば通常の式に戻ります。 $u \neq = 0$ なら $t = \frac{x - x _{1}}{u}$ を代入するだけ。

例 6：媒介変数から一般形へ

$x = 2 + 3 t$ 、 $y = - 1 + 4 t$ を $x$ と $y$ の式にします。

第 1 式から $t = \frac{x - 2}{3}$ です。第 2 式に代入します。

$y = - 1 + 4 \cdot \frac{x - 2}{3} ⟹ 3 y = - 3 + 4 x - 8 ⟹ 4 x - 3 y - 11 = 0$

方向ベクトルが $(3, 4)$ なので、法線は $(4, - 3)$ 。一般形の係数と一致しています。

形の使い分け

同じ直線でも、問題によって書きやすい形が違います。

点傾式

通る点と傾きが分かっているとき。 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ で、そのまま書き下せます。

斜截式

グラフを描くとき。 $y = m x + k$ で、傾きと切片が読み取れる。

一般形

平行や垂直を判定するとき。 $a x + b y + c = 0$ の係数から法線が出ます。

切片形

軸との交点や三角形の面積を扱うとき。 $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ が最短です。

媒介変数

空間の直線や、点の動きを追うとき。 $t$ が進む量を表す。

例 7：3 点が一直線上にあるか

$A (2, 1)$ 、 $B (5, 7)$ 、 $C (- 1, - 5)$ が一直線上にあるかを調べます。

$AB$ の傾きは $\frac{7 - 1}{5 - 2} = 2$ 、 $AC$ の傾きは $\frac{- 5 - 1}{- 1 - 2} = 2$ です。

2 つが一致したので 3 点は一直線上にあります。傾きを比べるとき、 $x$ 座標が等しい組がないことを先に確かめておく。

例 8：2 直線の交点を通る直線

$x + y - 4 = 0$ と $2 x - y - 5 = 0$ の交点を通り、点 $(1, 1)$ を通る直線を求めます。

交点を求めずに済ませる方法があります。 $k$ を定数として次の式を考えます。

$(x + y - 4) + k (2 x - y - 5) = 0$

この式は交点の座標を入れると両方の括弧が $0$ になるので、 $k$ が何でも交点を通ります。あとは $(1, 1)$ を通るように $k$ を決めるだけ。

$(1 + 1 - 4) + k (2 - 1 - 5) = - 2 - 4 k = 0$ から $k = - \frac{1}{2}$ です。

$(x + y - 4) - \frac{1}{2} (2 x - y - 5) = 0 ⟹ \frac{3}{2} y - \frac{3}{2} = 0 ⟹ y = 1$

答えは $y = 1$ です。交点 $(3, 1)$ を実際に求めてから通る直線を作っても同じ結果になります。

$2$ 点 $(4, - 1)$ と $(4, 6)$ を通る直線はどれですか。

$y = 4$
$x = 4$
$7 x - 7 = 0$
$y = \frac{7}{0} x - 29$

__RESULT__

$x$ 座標が等しいので傾きが作れません。2 点は縦に並んでいるので、直線は $y$ 軸に平行な $x = 4$ になります。分母を払った形 $(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1})$ に入れると $7 (x - 4) = 0$ となり、同じ式が出ます。

傾きの式を書く前に、 $x$ 座標が等しくないかを見る。この 1 手が例外のとりこぼしを防ぎます。

よくある誤り

傾きを

\frac{Δ x}{Δ y}

と逆に書く。分母が

x

の変化です。

2

点の引き算の向きを分子と分母でそろえない。両方とも同じ順番で引きます。

x

座標が等しい 2 点で傾きを計算しようとする。この場合は

x = x_{1}

が答えです。

y = m x + k

ですべての直線を書けると思う。

y

軸に平行な直線が抜けます。

切片形で切片が

0

の場合に使う。原点を通る直線には切片形が使えません。

一般形の傾きを

\frac{a}{b}

と書く。符号が抜けていて、正しくは

- \frac{a}{b}

です。

点傾式に代入したあと検算をしない。元の点を入れて

0

になるか見ます。

束の式で片方の直線が表せないことを忘れる。

k

をどう選んでも第 2 の直線そのものは出ません。

形をいくつも覚えるより、点傾式から書き換える手順を身につけるほうが速い。どの形も 2 行以内でたどり着きます。

参考文献

Équation de droite

Gerade

直线

Line–line intersection

直線を 1 本に定めるには情報が 2 つ要ります。通る点と傾き、または通る点 2 つ。覚えるのは点傾式 $y - y_1 = m(x-x_1)$ ひとつで、斜截式も切片形も媒介変数表示もそこからの書き換えです。$x$ 座標が等しい 2 点では傾きが作れないので、分母を払った形にしておくと例外が消える。傾きが動く図、切片と三角形の面積、交点を通る直線の束まで扱います。