直線の方程式（傾きと切片、2点を通る直線）

座標平面上の直線は、方程式で表すことができます。ここでは直線の方程式の基本形を整理します。

傾きと切片による表現

直線の最も基本的な形は、傾き $m$ と $y$ 切片 $n$ を使った式です。

$y = m x + n$

傾き $m$ は「 $x$ が 1 増えたとき $y$ がいくつ増えるか」を表します。 $y$ 切片 $n$ は直線が $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標です。

傾きが正

右上がりの直線になる

傾きが負

右下がりの直線になる

傾きと1点を通る直線

傾きが $m$ で、点 $(x_{1}, y_{1})$ を通る直線の方程式は次のようになります。

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

これを点傾き形式と呼びます。傾きがわかっていて、通る点が1つわかっているときに使います。

2点を通る直線

2点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ を通る直線の方程式は、まず傾きを求めてから式を立てます。

傾きは次の式で求められます。

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

この傾きを点傾き形式に代入すれば、直線の方程式が得られます。

具体例

2点 $(1, 3)$ 、 $(4, 9)$ を通る直線を求めます。傾きは $m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ です。点 $(1, 3)$ を通るので、 $y - 3 = 2 (x - 1)$ となり、整理すると $y = 2 x + 1$ です。

検算の方法

求めた式に2点の座標を代入して、両方とも成り立つか確認しましょう。 $(1, 3)$ を代入すると $3 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ で成立。 $(4, 9)$ を代入すると $9 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ で成立します。

一般形

直線の方程式は一般形 $a x + b y + c = 0$ でも表せます。 $y = m x + n$ を変形すると $m x - y + n = 0$ となり、これは一般形の一種です。

一般形の利点は、 $x = k$ （ $y$ 軸に平行な直線）も表せることです。 $y = m x + n$ の形では傾きが定義できない垂直な直線を表現できませんが、一般形なら $x - 3 = 0$ のように書けます。