境界の値から内部を組み立てる〜ポアソン積分公式とディリクレ問題

円板の境界で値を決めると、内部の調和関数が 1 つに決まります。その内部の値を作る式がポアソン積分公式です。

$$u(r{e}^{i\theta })=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{P}_r(\theta -t)u(e^{it})dt$$

重みにあたる $P_r$ をポアソン核と呼びます^[1]。

$$P_r(\phi )=\frac{1-r^2}{1-2r\cos \phi +r^2}$$

$r=0$ なら $P_0=1$ で、円周上の値の単純な平均に戻ります。中心から離れるほど、近い側の境界の値が強く効くようになる。

平均値の性質を、中心以外の点まで広げた式だと読めます。重みが付いたぶん、どの点でも使える形になりました。

核の性質

ポアソン核には、重みとして使うための性質がそろっています。

1 つ目と 2 つ目から、内部の値が境界の値の重み付き平均になります。だから最大値原理がすぐ出る。

3 つ目は近似単位元と呼ばれる性質です^[1]。境界へ寄せると、その真下の値だけを拾うようになる。

導出

コーシーの積分公式を 2 回使います。円板で正則な $f$ と内部の点 $a$ をとる。

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=1}\frac{f(z)}{z-a}dz$$

次に、$a$ を単位円について裏返した点 $1/\bar{a}$ を考えます。これは円板の外にあるので、被積分関数が内部で正則になり積分は $0$。

$$0=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=1}\frac{f(z)}{z-1/\bar{a}}dz$$

2 つを引き算し、$z=e^{it}$ とパラメータ表示して整理すると、実部にポアソン核が現れます。

工夫のしどころは、裏返した点を使うところです。境界からの見え方が同じで内部にない点を足すと、実の重みだけが残ります。

境界での様子

境界値 $u$ が連続なら、ポアソン積分で作った関数は境界まで連続に延びます。

核が近似単位元なので、内部の点を境界へ寄せると、その真下の境界値へ収束する。近づけ方が接するようでも成り立ちます。

境界値が不連続でも積分は定義できます。跳びのある点だけが例外になり、そこでは近づく向きしだいで極限が変わる。

有界な可測関数を境界値にとると、ほとんどすべての境界点で、法線方向からの極限が境界値に一致します。

調和測度

境界の一部で $1$、残りで $0$ という値を与えたときの解を、その部分の調和測度と呼びます。

内部の点から見て、その部分がどれくらいの重みを持つかを測る量です。中心での値は、弧の長さを全周で割った比。

上半平面では、線分の調和測度が見込む角で書けます。

$$u(x+iy)=\frac{1}{\pi }\left(\arctan \frac{x-a}{y}-\arctan \frac{x-b}{y}\right)$$

これは点 $x+iy$ から線分 $[a,b]$ を見込む角を $\pi$ で割った値です。幾何的な意味がそのまま出る^[2,3]。

一般の境界値は、調和測度で積分した形になります。ポアソン積分は、その測度が核で書ける場合にあたる。

シュワルツの公式

実部だけから正則関数を復元する式もあります。

$$f(z)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}u(e^{it})dt+iC$$

分数の実部がポアソン核そのものです。虚部を足したぶんが、共役調和関数を作っている。

$C$ は実の定数で、これだけが自由に残ります。実部を決めても虚部が定数だけずれる、という事情がこの $C$^[6]。

ヘルグロッツの表現

境界値が関数でなく測度でも、同じ形の積分が意味を持ちます。

円板で正の調和関数は、境界上の正の測度のポアソン積分としてただ一通りに書けます。ヘルグロッツの定理と呼ばれる結果。

境界値が存在しない場合も含みます。境界の 1 点に質量を集めた測度をとれば、その点だけで発散する正の調和関数が作れる。

正であることが効いています。符号が変わる関数では、この形の表現は一般に成り立ちません。

ハルナックの不等式

核の値を上下から押さえると、正の調和関数についての評価が出ます。

$$\frac{1-r}{1+r}u(0)\le u(r{e}^{i\theta })\le \frac{1+r}{1-r}u(0)$$

導出は簡単です。$P_r(\phi )$ の分母は $(1-r{)}^2$ と $(1+r{)}^2$ の間にあるので、核が $\frac{1-r}{1+r}$ と $\frac{1+r}{1-r}$ の間に収まる^[4]。

正の値に核を掛けて積分するので、不等式がそのまま積分にも移ります。中心での値が分かれば、内部の値がその定数倍の範囲に決まる。

境界へ寄るほど幅が広がります。中心の近くでは、値がほとんど動けない。

系として、単調に増える調和関数の列は、どこかで発散するか全体で調和関数へ収束するかのどちらか、という主張が出ます。ハルナックの定理と呼ばれる形です。

上半平面の場合

円板を上半平面へ移すと、核の形が変わります。

$$P_y(x)=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{y}{x^2+y^2}$$

境界は実軸で、$y$ が境界からの高さ。$y$ を $0$ へ近づけると、原点に集まる山になります。

$$u(x+iy)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{y}{(x-s{)}^2+y^2}u(s)ds$$

確率でいえばコーシー分布の密度です。裾が重いので、遠くの境界値も効き続ける。

円板の場合と違い、無限遠での条件を付けないと一意になりません。ふつうは有界という条件を足します。

ディリクレ問題の一意性

境界値を決めたときに解が 1 つに決まることは、最大値原理から出ます。

2 つの解の差は、境界で $0$ の調和関数です。最大も最小も境界でとるので、内部でも $0$^[5]。

存在のほうをポアソン積分が与え、一意性を最大値原理が与える。2 つ合わせて、境界値問題が意味を持ちます。

使いどころ

定常状態の温度分布を求める問題が、そのままこの形です。境界の温度を与えれば、内部の温度が積分で書ける。

静電場でも同じ。導体の表面の電位を決めると、内部の電位が決まります。

等角写像と組み合わせると、円板以外の領域でも解けます。領域を円板へ写し、そこでポアソン積分を使い、写像で戻す^[7]。

よくある誤り

境界の値を並べて、重みを掛けて足す。それだけで内部がすべて決まります。境界が内部を支配するという複素解析の性格が、いちばん素朴な形で式になったものです。

参考文献