三角関数の最大・最小問題

三角関数の最大・最小問題は、三角関数の合成や置換を使って解くことが多いです。パターンを押さえておくと、確実に解けるようになります。

基本：$\sin x$、$\cos x$ の範囲

$\sin x$ と $\cos x$ の値域は $-1\le \sin x\le 1$、$-1\le \cos x\le 1$ です。

$y=3\sin x+2$ の最大値は $3\cdot 1+2=5$、最小値は $3\cdot (-1)+2=-1$ です。

合成を使う場合

$a\sin x+b\cos x$ の形は、三角関数の合成で1つにまとめます。

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha )$$

ここで $\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$、$\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角です。

2次関数に帰着させる

$\sin x$ や $\cos x$ の2次式は、置換で2次関数の問題に帰着させます。

$y=2{\sin }^{2}x-3\sin x+1$ で $0\le x\le \pi$ のとき、最大値・最小値を求めます。

$t=\sin x$ とおくと、$0\le x\le \pi$ のとき $0\le t\le 1$ です。

$$y=2t^2-3t+1$$

$y=2(t-\frac{3}{4}{)}^2-\frac{1}{8}$ と平方完成すると、$t=\frac{3}{4}$ で最小値 $-\frac{1}{8}$、$t=0$ で最大値 1 です。

相互関係を使う

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ を使って変数を1つに減らします。

$y=2{\sin }^{2}x+3\cos x$ を $\cos x$ で表すと、${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ より

$$y=2(1-{\cos }^{2}x)+3\cos x=-2{\cos }^{2}x+3\cos x+2$$

$t=\cos x$（$-1\le t\le 1$）とおいて2次関数として処理します。

範囲に注意

置換後の変数の範囲を正しく求めることが、この種の問題で最も重要なポイントです。

まとめ