三角関数の最大・最小問題は、三角関数の合成や置換を使って解くことが多いです。パターンを押さえておくと、確実に解けるようになります。
基本：、 の範囲
と の値域は 、 です。
の最大値は 、最小値は です。
合成を使う場合
の形は、三角関数の合成で1つにまとめます。
ここで は 、 を満たす角です。
例題
の最大値を求めます。 なので、 と合成できます。よって最大値は 2 です。
合成のメリット
と が混ざった式を1つの三角関数にまとめることで、最大・最小が求めやすくなります。
2次関数に帰着させる
や の2次式は、置換で2次関数の問題に帰着させます。
で のとき、最大値・最小値を求めます。
とおくと、 のとき です。
と平方完成すると、 で最小値 、 で最大値 1 です。
相互関係を使う
を使って変数を1つに減らします。
を で表すと、 より
（）とおいて2次関数として処理します。
範囲に注意
の範囲
の範囲によって の範囲が変わる。 なら
2次関数の最大・最小
軸の位置と定義域の関係で、最大・最小をとる点が変わる
置換後の変数の範囲を正しく求めることが、この種の問題で最も重要なポイントです。
まとめ
の形 → 合成
（または ）の多項式 → に置換して2次関数
と の両方が入る → 相互関係で1変数に
