無限個の零点をもつ「因数分解」〜ワイエルシュトラスの積表示で整関数を組み立てる

多項式は、零点をすべて並べた積の形に書けます。整関数でも同じことをしたい。

$$p(z)=c(z-a_1)(z-a_2)\cdots (z-a_n)$$

零点が無限個になると、素朴に積を並べただけでは収束しません。項が $1$ に近づいても、ずれが積もれば積は崩れる。

ワイエルシュトラスは、各因子に指数関数の補正を掛けて収束させる方法を見つけました。零点をどこに何個置いても、それを実現する整関数が作れる^[1]。

代数学の基本定理を、次数が無限の場合まで運んだ定理です。

素朴な積が壊れる理由

零点を $a_1,a_2,\dots$ とし、$\prod (1-z/a_n)$ を作ってみます。

各因子は $1$ に近づきます。それでも積が収束するとは限らない。

対数をとると和になります。$\log (1-z/a_n)\approx -z/a_n$ なので、$\sum 1/|a_n|$ が発散すれば和も発散する。

零点が $1,2,3,\dots$ と並ぶ場合がその例です。$\sum 1/n$ が発散するので、素朴な積は使えません。

初等因子

打ち消すために、指数関数を掛けます。$\log (1-w)$ のテイラー展開の頭を、指数の肩で相殺する形。

$$E_0(z)=1-z,E_n(z)=(1-z)\exp \left(z+\frac{z^2}{2}+\cdots +\frac{z^n}{n}\right)$$

これを初等因子と呼びます^[2]。$n$ が大きいほど、$1$ からのずれが小さくなる。

$$|1-E_n(z)|\le |z{|}^{n+1}(|z|\le 1)$$

零点の位置は $E_n$ でも $z=1$ のまま変わりません。指数関数は決して $0$ にならないので、掛けても零点が増えない。

定理の主張

零点を並べた列 $a_1,a_2,\dots$ が、絶対値が無限へ発散するように与えられているとします。

このとき、それらをちょうど零点に持つ整関数が存在します。原点での零点の位数 $m$ も自由に指定できる。

$$f(z)=z^m{e}^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }{E}_{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)$$

$g$ は任意の整関数で、$p_n$ は収束させるために選ぶ非負整数。$p_n=n-1$ ととれば、どんな列でも必ず収束します。

逆に、零点が同じ整関数どうしは $e^g$ の違いしかありません。商をとると零点のない整関数になり、その対数が整関数として作れるためです^[6]。

例：サインの積表示

零点が整数全体に並ぶ関数として、$\sin \pi z$ があります。

$$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$$

$n$ と $-n$ を組にして掛けているので、補正の指数が打ち消し合っています。$e^{z/n}$ と $e^{-z/n}$ が消えるため、素朴な形で書ける。

組にしなければ、初等因子 $E_1$ を使うことになります。片側だけ見ると $\sum 1/n$ が発散するので、補正が要る。

因子を足すと、零点が内側から順にそろっていきます。無限に続ければ、サインの形になる。

例：コサインとガンマ関数

$\cos \pi z$ の零点は半整数に並びます。同じ形で書ける。

$$\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{(n+\frac{1}{2}{)}^2}\right)$$

ガンマ関数の逆数は、零点が $0$ と負の整数に並ぶ整関数です。こちらは補正が消えず、指数が残ります。

$$\frac{1}{\Gamma (z)}=z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}$$

$\gamma$ はオイラー・マスケローニ定数。$e^{\gamma z}$ の部分が、定理の $e^{g(z)}$ にあたります^[3]。

零点が片側にしか並ばないので、組にして打ち消す手が使えません。だから $E_1$ の形がそのまま残る。

収束指数

補正の項数をいくつにとればよいかは、零点の散らばり方で決まります。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{|a_n{|}^{p+1}}<\infty$$

これを満たす最小の非負整数 $p$ を選べば、$E_p$ をそろえて使えます。零点が疎なほど $p$ は小さくてよい。

零点が $n$ に比例するなら $p=1$。$n^2$ に比例するなら $\sum 1/n^2$ が収束するので $p=0$ で足ります。

位数

整関数の伸び方を測る量が位数です。$M(r)$ を $|z|=r$ での最大値とする。

$$\rho =\underset{r\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{\log \log M(r)}{\log r}$$

多項式は位数 $0$、$e^z$ は位数 $1$、$e^{z^2}$ は位数 $2$ です。$\log$ を 2 回とるので、指数の肩の次数が拾えます。

位数と零点の散らばり方は結びついています。位数が $\rho$ なら、半径 $r$ の中の零点の個数は $r^{\rho +\epsilon }$ 程度で押さえられる。

アダマールの因数分解定理

位数が有限なら、ワイエルシュトラスの形をもっと絞れます。

$$f(z)=z^m{e}^{P(z)}\prod _k{E}_p\left(\frac{z}{a_k}\right)$$

$P$ は多項式で、その次数は位数 $\rho$ 以下。補正の項数 $p$ も、すべての因子で同じ値にそろえられて $\rho$ 以下です。

$p$ と $\mathrm{deg}P$ の大きいほうを種数と呼びます。位数との間に $g\le \rho \le g+1$ という関係が成り立つ。

任意の整関数 $e^{g(z)}$ という自由が、多項式の指数まで狭まります。位数が分かれば、関数の形がかなり決まる^[1]。

例：位数から形を決める

位数 $1$ の整関数で、零点を持たないものを考えます。

アダマールの定理から $f(z)=e^{az+b}$ の形しかありません。$P$ の次数が $1$ 以下で、積の部分が空になるため。

$\sin \pi z$ は位数 $1$ で、零点が整数に並びます。個数は半径に比例するので、$\sum 1/|a_n{|}^2$ が収束して $p=1$。

$\cos \sqrt{z}$ は位数 $1/2$ です。零点は $((n+\frac{1}{2})\pi {)}^2$ に並び、個数は半径の平方根に比例する。$\sum 1/|a_n|$ が収束するので $p=0$ で足ります。

零点はどこにでも置ける

定理の言うことは、零点の配置に制限がないという事実でもあります。集積点を持たない列でありさえすればよい。

有限の点に集まってはいけません。集まれば一致の定理から、関数が恒等的に $0$ になってしまう^[5]。

だから条件は、絶対値が無限へ発散することだけ。どんなに疎でも密でも、実現する整関数が作れます。

有理型関数は商になる

分母と分子に整関数を置けば、有理型関数が作れます。逆も成り立つ。

領域全体で有理型な関数は、共通零点を持たない 2 つの整関数の商として書けます。極の位置を零点に持つ整関数を分母に作り、掛けて分子を得る。

多項式の商が有理関数だったのに対応する形です。次数が無限の場合でも同じ構造が保たれる^[7]。

極の側を指定するとどうなるか

零点ではなく、極とその主要部を指定する定理もあります。ミッタク・レフラーの定理^[4]。

$$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}$$

$\cot$ の極はすべて整数にあり、留数はどれも $1$ です。主要部を並べて足すだけでは収束しないので、そこでも補正を入れます。

ワイエルシュトラスが積で零点を作るのに対し、ミッタク・レフラーは和で極を作る。対数微分をとると、片方がもう片方に移ります。

$$\frac{d}{dz}\log \sin \pi z=\pi \cot \pi z$$

サインの積表示を対数微分すると、コタンジェントの部分分数分解が出ます。2 つの定理が裏表であることが、この計算に現れている。

よくある誤り

零点の場所を決めるだけで整関数が作れる。逆に、整関数は零点と 1 つの指数因子で書き尽くせる。多項式で当たり前だったことが、無限次数まで持ち上がりました。

参考文献