ワイエルシュトラスの因数分解定理

多項式は零点で因数分解できる。整関数にも同様の因数分解が存在するが、零点が無限個ある場合には無限積の収束を保証する工夫が必要だ。ワイエルシュトラスの因数分解定理は、この問題を解決する。

有限積から無限積へ

多項式 $P (z) = a_{n} (z - z_{1}) (z - z_{2}) \dots (z - z_{n})$ は零点 $z_{1}, \dots, z_{n}$ で因数分解される。整関数で零点が $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \dots$ と無限に続く場合、単純に

$f (z) = k = 1 \prod \infty (1 - z / z_{k})$

としたくなるが、一般にはこの無限積は収束しない。

有限積

常に収束し、因数分解は一意的。

無限積

収束条件を満たすように因子を修正する必要がある。

収束を保証するため、ワイエルシュトラスは基本因子（初等因子）を導入した。

$E_{p} (z) = (1 - z) exp (z + \frac{z ^{2}}{2} + \dots + \frac{z ^{p}}{p})$

ここで $p$ は非負整数で、 $E_{0} (z) = 1 - z$ である。 $E_{p} (z)$ は $z = 1$ で 1 位の零点を持ち、 $z \to 0$ で

$E_{p} (z) = 1 + O (z^{p + 1})$

となる。この速い減衰が無限積の収束を保証する。

$f$ を整関数で $f (0) \neq = 0$ とし、零点を重複度込みで $z_{1}, z_{2}, \dots$ （ $0 < |z_1| \leq |z_2| \leq \cdots$ ）とする。このとき、適当な整数列 ${p_{n}}$ と整関数 $g$ が存在して

$f (z) = e^{g (z)} n = 1 \prod \infty E_{p_{n}} (z / z_{n})$

と表される。特に $\sum_{n=1}^{\infty} |z_n|^{-(p_n+1)} < \infty$ を満たすように $p_{n}$ を選べば、無限積は広義一様収束する。

$f (0) = 0$ の場合は $f (z) = z^{m} h (z)$ （ $h (0) \neq = 0$ ）と因数分解し、 $h$ に定理を適用すればよい。

$sin z$ は $z = nπ$ （ $n \in Z$ ）で 1 位の零点を持つ。因数分解定理を適用すると

$sin z = z n = 1 \prod \infty (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2} π ^{2}})$

を得る。ここでは $p_{n} = 0$ で十分で、 $\sum 1/n^2 < \infty$ から収束が保証される。両辺を $z$ で割って $z \to 0$ の極限を取ると

$1 = n = 1 \prod \infty (1 - \frac{0}{n ^{2} π ^{2}}) = 1$

となり整合的だ。この因数分解から $ζ (2) = π^{2} /6$ を導出することもできる。

零点の分布によっては、すべての $p_{n}$ を同じ値 $p$ に取れることがある。そのような最小の $p$ を $f$ の階数（genus）と呼ぶ。

階数 0 の整関数

$\sum 1/|z_n| < \infty$ を満たし、単純な因数分解が可能。

階数 1 の整関数

$\sum 1/|z_n|^2 < \infty$ だが $\sum 1/∣ z_{n} ∣ = \infty$ 。 $sin z$ , $cos z$ など。

階数

p

の整関数

$\sum 1/|z_n|^{p+1} < \infty$ だが $\sum 1/∣ z_{n} ∣^{p} = \infty$ 。

標準因数分解では $p_{n} = p$ （一定）と取り、 $e^{g (z)}$ の $g$ は高々 $p$ 次の多項式となる。

位数 $ρ$ の整関数（増大度が $∣ f (z) ∣ = O (e^{∣ z ∣^{ρ + ε}})$ 程度）については、階数は $ρ$ 以下となる。これをアダマールの定理と呼び、整関数の増大度と零点分布を結びつける。