等角写像の基本と応用

正則関数による写像は、角度を保存するという特別な性質を持っています。これを等角写像といいます。

等角写像とは

2 つの曲線が点 $a$ で交わるとき、その交角を考えます。正則関数 $f$ で写像すると、像の 2 曲線は点 $f(a)$ で交わります。

$f^{\prime }(a)\ne 0$ のとき、この交角は保存されます。つまり、もとの交角と像の交角が等しくなります。これが「等角」の意味です。

逆に $f^{\prime }(a)=0$ の点では、角度が保存されない可能性があります。

なぜ角度が保存されるのか

$f^{\prime }(a)\ne 0$ のとき、$f(a)$ の近くで

$$f(z)-f(a)\approx f^{\prime }(a)(z-a)$$

と線形近似できます。$f^{\prime }(a)$ を極形式で $f^{\prime }(a)=r{e}^{i\theta }$ と書くと、この写像は

• $r$ 倍の拡大
• $\theta$ だけの回転

の合成です。拡大と回転はどちらも角度を保存するので、等角になります。

基本的な等角写像

指数関数の等角写像

$f(z)=e^z$ は帯状領域を特別な形に写します。

$0<\mathrm{Im}(z)<\pi$ という水平な帯は、上半平面 $\mathrm{Im}(w)>0$ に写されます。

$f^{\prime }(z)=e^z\ne 0$ なので、どの点でも等角です。格子状の直線は、同心円と放射状の直線に写されます。

応用：物理学

等角写像は流体力学や電磁気学で重要です。

複雑な形状の領域での問題を、円や半平面など単純な領域の問題に変換できます。等角写像で変換しても、ラプラス方程式の解であることは保たれるからです。

たとえば、翼のまわりの流れを解析するとき、翼の形を円に写す等角写像を使うことがあります。

リーマンの写像定理

複素解析の深い定理として、リーマンの写像定理があります。

複素平面全体を除く任意の単連結領域は、単位円板 $|z|<1$ に等角的に写せます。

つまり、どんな複雑な形の穴なし領域でも、適切な等角写像で円板に変換できるということです。ただし、具体的な写像を求めるのは一般には難しい問題です。