等角写像とは？角を保ったまま形だけが変わり、ラプラス方程式も保たれる

正則関数による写像は、2 つの曲線が交わる角度を変えません。ただし $f^{\prime }(z)\ne 0$ の点に限ります。

長さは変わります。形もゆがみます。それでも交わる角だけは、もとのまま残る。この性質を等角と呼びます^[1]。

理由は微分の姿にあります。$f^{\prime }(a)$ を極形式で $r{e}^{i\theta }$ と書くと、$a$ のごく近くで写像は $r$ 倍の拡大と $\theta$ の回転になる。どちらも角を変えません。

実の 2 変数写像なら、縦横で伸び方を変えたり、せん断を掛けたりできます。正則関数はそれができない。ヤコビ行列が、正の数と回転行列の積という特別な形に縛られています^[2,3]。

等角の定義

2 つの滑らかな曲線が点 $a$ で交わり、そこでの接線がなす角を $\phi$ とします。像の 2 曲線が $f(a)$ で作る角が同じ $\phi$ で、向きも同じなら、$f$ は $a$ で等角。

角の大きさだけでなく、回る向きまで保つ点が大切です。向きが裏返るものは反等角と呼び、別扱いにします。

正則で $f^{\prime }(a)\ne 0$ ならば $a$ で等角になり、逆も成り立ちます。等角であることと、微分が消えない正則性が同じ意味になる。

なぜ角が保たれるのか

$a$ の近くで 1 次まで近似します。

$$f(z)-f(a)=f^{\prime }(a)(z-a)+o(|z-a|)$$

主要部は $f^{\prime }(a)$ を掛ける操作だけ。複素数を掛けるとは、回して伸ばすことでした。

曲線の接ベクトルは、どれも同じ $f^{\prime }(a)$ を掛けられます。2 本の接ベクトルが同じだけ回るので、その差である交角は変わらない。

伸びる倍率も向きによりません。$|f^{\prime }(a)|$ という 1 つの数で決まるので、無限小の円は無限小の円へ写ります。だから局所的には相似変換に見える。

例：$z^2$ の局所的な姿

$f(z)=z^2$ の導関数は $2z$ です。原点以外では消えないので、そこでは等角。

$z=1$ での微分は $2$ なので、近くでは $2$ 倍に拡大するだけ。回転は入りません。

$z=i$ での微分は $2i$ です。絶対値が $2$、偏角が $\pi /2$ なので、$2$ 倍して $90$ 度回す写像に見えます。

離れた点では話が別。大域的には正方形の格子が放物線の網へ変わりますが、どの交点でも直角は直角のまま残ります。

臨界点では角が何倍にもなる

$f^{\prime }(a)=0$ の点を臨界点と呼びます。ここでは近似の主要部が消えるので、上の議論が効きません。

$f^{\prime }$ が $a$ で $n-1$ 位の零点を持つ、つまり展開の最初の項が $(z-a{)}^n$ なら、角はちょうど $n$ 倍になります。

$$f(z)-f(a)=c_n(z-a{)}^n+\cdots (c_n\ne 0)$$

偏角が $n$ 倍になるので、交角も $n$ 倍。$n=1$ のときだけ角が保たれる、という読み方もできます。

例：$z^2$ の原点

原点で交わる 2 本の半直線を、偏角 $\alpha$ と $\beta$ にとります。$z^2$ で写すと偏角は $2\alpha$ と $2\beta$。

交角は $\beta -\alpha$ から $2(\beta -\alpha )$ へ変わります。直角に交わる 2 本は、像では一直線に伸びる。

第 1 象限が上半平面へ広がるのも同じ話です。開き $\pi /2$ の扇が、開き $\pi$ の半平面になる。

向きを裏返す写像

共役をとる $z\mapsto \bar{z}$ は、角の大きさを保ちますが向きを裏返します。反等角と呼ばれる類。

正則ではないので、等角写像の仲間には入りません。$\overline{f(z)}$ の形をした写像はすべてこの型になります。

鏡映を偶数回合成すれば向きが戻るので、等角写像に化けます。反転と共役を組み合わせた写像がその例。

基本の等角写像

よく使う写像を並べます。どれも導関数が消えないか、消える点をはっきり把握できるものです。

平行移動と回転と拡大の合成が 1 次関数 $az+b$ です。これに反転を組み合わせると、次のメビウス変換になります。

メビウス変換

分数の形をした写像です。

$$w=\frac{az+b}{cz+d}(ad-bc\ne 0)$$

条件 $ad-bc\ne 0$ は、写像がつぶれないための条件。導関数は $(ad-bc)/(cz+d{)}^2$ なので、極を除いてどこでも消えません。

リーマン球面まで広げると、球面全体を球面全体へ写す等角写像になります。球面の自己同型はこれで尽きる^[4]。

円と直線を、円と直線へ写す性質があります。直線を無限遠点を通る円と見なせば、円は円へ写るという 1 つの規則にまとまる。

指数関数の写す先

$e^z$ は $z=x+iy$ を $e^x(\cos y+i\sin y)$ へ写します。絶対値が $e^x$、偏角が $y$。

縦の直線 $x=$ 一定は、半径 $e^x$ の円へ写ります。横の直線 $y=$ 一定は、原点から出る半直線へ。

だから縦横の格子が、同心円と放射状の直線の網に変わる。直交する 2 つの族が、また直交する 2 つの族になります。

例：帯を上半平面へ

$0<\mathrm{Im}z<\pi$ という高さ $\pi$ の帯を考えます。$e^z$ で写すと、偏角が $0$ から $\pi$ までを動く。

つまり像は上半平面。帯の下の辺が正の実軸へ、上の辺が負の実軸へ移ります。

逆向きの写像は $\log w$ で、上半平面を帯へ戻します。角度の情報が高さに、大きさの情報が横位置に変わる。

帯の高さを $\pi$ ではなく $2\pi$ にすると、像は原点を抜いた平面全体になります。高さが $2\pi$ を超えると重なりが起きて、1 対 1 でなくなる。

べき関数で角を開く

$z^{\alpha }$ は原点での角の開きを $\alpha$ 倍にします。$\alpha$ は正の実数でよい。

開き ${\theta }_0$ の扇形を半平面へ写したければ、$\alpha =\pi /{\theta }_0$ ととる。${\theta }_0=\pi /2$ なら $\alpha =2$ で、$z^2$ が第 1 象限を上半平面へ広げます。

逆に $\alpha =1/2$ とすれば角が半分になります。上半平面が第 1 象限へ折り込まれる。

分枝を選ばないと一価にならない点に注意が要ります。扇形を切り開いた領域で 1 つの分枝を固定してから使う。

ジューコフスキー変換

翼のまわりの流れを扱うときに使われる写像です。

$$w=z+\frac{1}{z}$$

導関数は $1-1/z^2$ なので、$z=\pm 1$ が臨界点。そこでは角が $2$ 倍になり、なめらかな円周が鋭い後縁へ折れます。

原点中心の単位円は、実軸上の線分 $[-2,2]$ へつぶれる。中心をずらした円をとると、像が翼の形になります。

円が臨界点 $z=1$ を通るように半径を選びます。そこだけ角が $2$ 倍になり、$180$ 度が $360$ 度に開いて後縁の鋭い先が生まれる。

円のまわりの流れは手で書けるので、写像で引き戻せば翼のまわりの流れが得られます。等角写像が実際の設計に使われた例です。

シュワルツ・クリストッフェル変換

多角形の内部へ写す写像には、積分の形の公式があります。

$$f(z)=C_1+C_2{\int }^z\prod _{k=1}^n(\zeta -x_k{)}^{{\alpha }_k-1}d\zeta$$

$x_k$ は実軸上の点で、多角形の頂点に対応します。${\alpha }_k\pi$ が頂点の内角。

各因子が $x_k$ で角を開く働きをします。べき関数で角を変える仕組みを、頂点ごとに並べた形です。

ラプラス方程式が保たれる

等角写像がよく使われるいちばんの理由は、調和性が保たれることにあります。

$u$ が調和で $f$ が正則なら、$u\circ f$ もまた調和。合成の計算をすると、ラプラシアンに $|f^{\prime }{|}^2$ が掛かる形になるためです。

$$\Delta (u\circ f)=|f^{\prime }{|}^2(\Delta u)\circ f$$

$\Delta u=0$ なら右辺は $0$ です^[5]。だから難しい形の領域での境界値問題を、円板や半平面の問題へ移して解ける。

境界の条件も、境界どうしが対応していれば移ります。解いてから写像で戻せば、もとの領域での解になる。

応用の形

静電場の電位、定常状態の温度、渦のない流れの速度ポテンシャル。どれもラプラス方程式に従います。

複雑な形の導体のまわりの電位を、円のまわりの電位に置き換えて解く。角のある領域では、べき関数で角を伸ばして扱いやすくする。

流体では、円柱まわりの流れという解ける問題から出発します。典型はジューコフスキー変換で、円を翼の形へ移します。

リーマンの写像定理

どこまで自由に形を変えられるか、という問いに答える定理があります。

複素平面全体でない単連結領域は、どれも単位円板へ等角に、しかも 1 対 1 に写せます。領域の形がどれだけ入り組んでいても関係ありません。

平面全体だけが例外です。有界な像へ写す正則関数は、リウヴィルの定理から定数になってしまうため。

写像は 1 つに決まりません。中心へ送る点を 1 つ選び、そこでの微分の偏角を決めると、そこで初めて一意になります。自由度は 3 つ^[6]。

証明は存在を言うだけで、写像を書き下す方法は与えません。具体的な形が分かるのは、多角形や扇形のような限られた場合だけです。

よくある誤り

角を保つという 1 つの条件が、正則性とぴったり重なります。複素微分可能という代数の条件と、角度を変えないという幾何の条件が、同じものの表と裏になっている。

参考文献