一意性定理（正則関数のゼロ点の孤立性）

正則関数の零点は孤立するという性質から、一意性定理（一致の定理）が導かれる。この定理は、正則関数が小さな領域での値だけで全体が決まることを主張しており、複素解析の基本的な道具である。

零点の孤立性

$f$ が領域 $D$ で正則で、 $f \neq \equiv 0$ とする。このとき $f$ の零点は孤立する。すなわち、任意の零点 $z_{0}$ に対して、ある $ε > 0$ が存在し、 $0 < |z - z_0| < \varepsilon$ では $f (z) \neq = 0$ となる。

証明は以下のようになる。 $z_{0}$ で $f (z_{0}) = 0$ とし、 $f$ のべき級数展開を

$f (z) = a_{n} (z - z_{0})^{n} + a_{n + 1} (z - z_{0})^{n + 1} + \dots, a_{n} \neq = 0$

と書く（ $f \neq \equiv 0$ なので、ある $n$ で $a_{n} \neq = 0$ ）。すると

$f (z) = (z - z_{0})^{n} g (z), g (z_{0}) = a_{n} \neq = 0$

と因数分解でき、 $g$ は連続なので $z_{0}$ の近くで $g (z) \neq = 0$ 。よって $z_{0}$ 以外に零点はない。

この $n$ を零点 $z_{0}$ の位数（重複度）と呼ぶ。

一意性定理

零点の孤立性から、次の強力な一意性定理が従う。

$f$ と $g$ を領域 $D$ 上の正則関数とする。 $D$ 内に集積点を持つ点列 ${z_{n}}$ で $f (z_{n}) = g (z_{n})$ が成り立つならば、 $f \equiv g$ on $D$ である。

実関数の場合

$R$ 上の滑らかな関数は、区間上で一致しても全体で一致するとは限らない

正則関数の場合

集積点を持つ点列上で一致すれば、領域全体で一致する

証明の概略

$h = f - g$ と置くと、 $h$ は正則で $h (z_{n}) = 0$ 。 ${z_{n}}$ の集積点を $z^{*}$ とすると、連続性から $h (z^{*}) = 0$ 。もし $h \neq \equiv 0$ ならば、 $z^{*}$ は $h$ の孤立零点でなければならないが、 $z_{n} \to z^{*}$ より矛盾。よって $h \equiv 0$ 、すなわち $f \equiv g$ である。

具体的な適用

一意性定理の典型的な応用を見てみよう。

実軸上での一致

$f$ と $g$ が実軸の区間 $(a, b)$ 上で一致すれば、それらを含む連結な領域全体で一致する。

関数等式の証明

$sin^{2} z + cos^{2} z = 1$ は実数で成り立つ。両辺は整関数で、実軸という集積点を持つ集合で一致するから、複素平面全体で成り立つ。

解析接続の一意性

同じ関数を異なる方法で解析接続しても、結果は一致する。

零点の分布

一意性定理の対偶として、正則関数（ $\neq \equiv 0$ ）の零点集合は離散的で、コンパクト集合上には有限個しかない。

たとえば $sin z$ の零点は $z = nπ$ （ $n \in Z$ ）で、実軸上に等間隔で並ぶ。有界領域内には有限個しか含まれない。もし零点が集積するような正則関数があれば、それは恒等的に 0 でなければならない。

注意点

一意性定理が成立するのは、定義域が連結な領域のときに限る。領域が連結でなければ、各連結成分で独立に関数を定義できるため、一意性は成り立たない。