一致の定理（一点のまわりだけで関数はすべて決まる）と零点の孤立性

2 つの正則関数が、領域の中に集積点を持つ集合の上で一致すれば、領域全体で一致します^[1]。

点が並んだ列 1 本ぶんの情報があれば、それだけで関数が決まってしまう。実の滑らかな関数では、まったく成り立たない性質です。

言い換えると、正則関数の零点は孤立します。恒等的に $0$ でないかぎり、零点が領域の中で込み合うことはない^[2]。

$$f\not\equiv 0⟹f^{-1}(0)\text{ は離散集合}$$

この固さが、解析接続の一意性や恒等式の自動的な延長を支えています。

集積点は領域の中に要る

上の図の関数 $\sin (1/z)$ は、$z=1/(n\pi )$ で $0$ になります。この点列は原点へ集まる。

それでも $\sin (1/z)$ は恒等的に $0$ ではありません。定理に反していないのは、集積点である原点が定義域 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ に入っていないからです。

集積点が境界にあるだけでは足りない。領域の内部に集積点があることが、定理の条件です。

零点の孤立性

一致の定理を $g\equiv 0$ の場合に当てると、零点についての主張になります。

$f$ が領域で正則で恒等的に $0$ でないなら、零点は孤立する。どの零点にも、他の零点を含まない近傍がとれます。

したがって零点は高々可算個で、コンパクト集合の中には有限個しかありません。値 $a$ の逆像についても同じことが言えます。

零点の位数

零点 $a$ でのテイラー展開を書くと、最初に現れる項の次数が位数です。

$$f(z)=c_m(z-a{)}^m+c_{m+1}(z-a{)}^{m+1}+\cdots (c_m\ne 0)$$

$f(z)=(z-a{)}^{m}g(z)$ と書け、$g(a)=c_m\ne 0$ になります。$g$ は $a$ の近くで $0$ にならないので、そこには他の零点がない。

すべての係数が $0$ なら、その点の近くで $f$ は恒等的に $0$ です^[6]。この場合が、定理の証明で追い込む先になります^[3]。

証明の第 1 段：係数がそろう

$h=f-g$ とし、$h$ が集積点 $a$ を持つ集合の上で $0$ になるとします。$a$ でのテイラー展開を書く。

連続性から $h(a)=0$ なので、$c_0=0$ です。もし $c_1\ne 0$ なら $h(z)=c_1(z-a)+\cdots$ で、$a$ の近くに他の零点がないことになる。

ところが $a$ は零点の集積点なので、いくらでも近くに零点があります。矛盾するので $c_1=0$。

同じ議論を繰り返すと、すべての係数が $0$ です。したがって $a$ のまわりの円板で $h\equiv 0$ になります。

証明の第 2 段：円板から領域全体へ

$a$ の近くで $h\equiv 0$ が分かりました。ここから領域全体へ広げます。

$T$ を、$h$ のすべての導関数が $0$ になる点の集合とする。$T$ は空ではありません。第 1 段で $a\in T$ が言えました。

$T$ は閉集合です。導関数は連続なので、条件が極限でも保たれる。

$T$ は開集合でもあります。$b\in T$ ならテイラー係数がすべて $0$ なので、$b$ のまわりの円板全体で $h\equiv 0$ になり、その円板が $T$ に入る。

領域は連結なので、空でない開かつ閉な部分集合は全体しかありません。したがって $T$ は領域全体で、$h\equiv 0$ です。

例：実軸で一致すれば全体で一致

領域が実軸の一部を含むとします。実軸上の区間はそれ自体が集積点だらけなので、条件を満たす。

だから 2 つの正則関数が区間の上で一致すれば、領域全体で一致します。実の関数を複素へ延ばす方法は、あっても 1 通り。

$\sin z$ が実の $\sin x$ の唯一の正則な延長である、というのはこの主張です。ほかの延ばし方はありません。

恒等式が自動的に延びる

実数で成り立つ恒等式は、両辺が正則に延びるなら複素数でも成り立ちます。差をとれば実軸上で $0$ の正則関数になるため。

$${\sin }^{2}z+{\cos }^{2}z=1$$

実数で確かめるだけで、複素数でも正しいと言えます。加法定理も同じ理屈で延びる。

$$\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w$$

2 変数のときは片方ずつ固定して 2 回使います。まず $w$ を実数に止めて $z$ について延ばし、次に $z$ を任意の複素数に止めて $w$ について延ばす。

代数的な等式を、いちいち複素数で確かめ直さずに済みます。実の計算の結果がそのまま持ち上がる。

実関数では成り立たない

何回でも微分できる実関数を持ってきても、同じ主張は成り立ちません。

$x>0$ では $e^{-1/x^2}$、$x\le 0$ では $0$ と定めた関数を考えます。

$$f(x)=e^{-1/x^2}(x>0)$$

この関数は何回でも微分でき、$x\le 0$ で恒等的に $0$ です。それでも全体では $0$ ではない。

原点でのテイラー係数はすべて $0$ になります^[4]。級数は恒等的に $0$ ですが、関数のほうは $x>0$ で正の値をとる。

いくら拡大しても、原点の左側が平らなまま右側だけ立ち上がります。正則関数ではこの形が作れません。

差は、複素微分可能という条件の重さにあります。実の無限回微分可能は、テイラー級数が関数に一致することを保証しない。

零因子がない

領域上の正則関数を集めた集合は、和と積について環になります。一致の定理から、この環には零因子がない。

$fg\equiv 0$ とします。$f$ が恒等的に $0$ でなければ、その零点は孤立している。

零点でない点の近くでは $f\ne 0$ なので $g=0$ が成り立ちます。そういう点は集積点を持つので、一致の定理から $g\equiv 0$^[2]。

実数の連続関数では成り立ちません。左半分だけ $0$ の関数と右半分だけ $0$ の関数を掛ければ、恒等的に $0$ になります。

解析接続の一意性

領域を広げて正則関数を延ばすとき、延ばし方は 1 通りに決まります。2 つの延長の差が、もとの領域で $0$ になるため。

もとの領域は開集合なので、集積点をいくらでも含みます。一致の定理が使えて、差は延長先の領域全体で $0$。

ただし、延長先が連結であることが要ります。連結でなければ、もとの領域とつながっていない部分では何も言えません。

経路にそって延ばすときは事情が変わります。同じ点へ違う経路で到達すると、値がずれることがある。多価性が現れるのはこの場合で、一意性が崩れたわけではありません^[5]。

領域が連結でないと崩れる

定理の主張には、領域が連結であることが要ります。証明で開かつ閉の議論を使ったところ。

$D$ が 2 つの離れた円板の合併だとします。片方で $f=g$、もう片方で $f\ne g$ という関数は作れる。

連結成分ごとに定理を当てることになります。集積点のある成分だけで一致が言えて、他の成分には届かない。

一致する点の集合の形

2 つの正則関数が一致する点の集合は、恒等的に一致しないかぎり離散集合です。孤立した点が並ぶだけ。

だから曲線にそって一致する、という状況は起こりません。曲線には集積点があるので、その時点で全体が一致します。

実軸上の可算個の点でも、集積点さえあれば足ります。$1/n$ の列の上で一致すれば、それだけで決まる。

例：無限個の点で一致しても足りないとき

$f(z)=\sin (\pi z)$ と $g\equiv 0$ は、すべての整数で一致します。無限個の点で一致していますが、$f$ は $0$ ではない。

整数の集合には集積点がないためです。有限のどこにも点が込み合っていない。

集積点は「無限個」より強い条件です。個数ではなく、どこかへ寄り集まっているかどうかが問われます。

よくある誤り

正則という条件は、局所の情報を大域へ運びます。1 点のまわりの係数がすべて決まれば、領域の隅まで決まってしまう。この固さが、複素解析のほとんどの定理の背後にあります。

参考文献