べき級数はどこまで届くのか？収束半径をコーシー・アダマールで決める

べき級数が収束するかどうかは、中心からの距離だけで決まります。

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$$

ある $R$ があって、$|z-a|<R$ なら絶対収束、$|z-a|>R$ なら発散する。この $R$ が収束半径です^[1]。

境目がちょうど円になるところが、実の級数と違って見える点。実数だけを見ていると区間の端が 2 つあるように見えますが、複素平面では円周 1 本にまとまります。

$R$ は $0$ でも無限大でもよい。$0$ なら中心以外どこでも発散し、無限大なら全平面で収束します。

アーベルの補題

収束の様子が円で決まる理由は、1 つの補題から出ます。

ある点 $z_0$ で項 $a_n(z_0-a{)}^n$ が有界だとする。このとき $|z-a|<|z_0-a|$ を満たす $z$ で、級数は絶対収束します。

比を $q=|z-a|/|z_0-a|<1$ と置くと、項の大きさが $M{q}^n$ で抑えられるため。等比級数と比べるだけの議論です。

つまり 1 点で収束すれば、それより内側ではすべて収束する。逆に 1 点で発散すれば、それより外側ではすべて発散します。

収束する点の集合が円板になるのはこのため。半径の上限が収束半径です^[2]。

コーシー・アダマールの公式

係数から半径を計算する式があります。

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|a_n|}$$

上極限を使うところが要点です。極限が存在しない係数列でも、この式なら必ず値が決まります。

右辺が $0$ なら $R$ は無限大、無限大なら $R$ は $0$ と読みます。どんな係数列にも半径が定まる^[1,2]。

導出は根の判定法から。$\sqrt[n]{|a_n(z-a{)}^n|}=|z-a|\sqrt[n]{|a_n|}$ が $1$ より小さければ収束します。

ダランベールの形

比の極限が存在する場合には、こちらのほうが計算しやすい。

$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$

階乗や指数が入った係数では、比をとると大きく約分できます。根をとるより手数が少ない。

ただし極限が存在しないと使えません。係数が振動する場合は、コーシー・アダマールに戻ることになります。

例：指数関数

$e^z=\sum z^n/n!$ の係数は $a_n=1/n!$ です。比をとる。

$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1⟶\infty$$

したがって収束半径は無限大。全平面で収束し、$e^z$ は整関数です。

$\sin z$ や $\cos z$ も同じ形の係数を持つので、やはり整関数になります。

例：幾何級数

$\sum z^n$ の係数はすべて $1$ です。根をとっても比をとっても $1$ になり、$R=1$。

和は $|z|<1$ で $1/(1-z)$ に一致します。$z=1$ で分母が消えるので、そこが半径を決めている。

半径が $1$ になる理由が、係数の側からも関数の側からも読める例です。

例：係数が振動する場合

$a_n$ を、$n$ が偶数なら $2$、奇数なら $1$ とします。

比 $|a_n/a_{n+1}|$ は $2$ と $1/2$ を行き来し、極限を持ちません。ダランベールの形は使えない。

根のほうは $\sqrt[n]{2}\to 1$ と $\sqrt[n]{1}=1$ なので、上極限は $1$ です。したがって $R=1$。

上極限を使う理由がここに出ています。振動する係数でも、いちばん大きい寄り先を拾えばよい。

半径は最も近い特異点まで

級数が正則関数を表しているとき、半径には幾何的な意味があります。中心から、関数が正則に延ばせなくなる最も近い点までの距離。

級数が特異点を飛び越えて収束することはありません。飛び越えたなら、その点でも正則になってしまう。

逆に、収束円の内側では必ず正則です。項別に微分できるので、導関数も同じ半径のべき級数になります。

例：実軸では見えない特異点

$1/(1+x^2)$ は実軸のどこでも滑らかで、値も有限です。それでも原点まわりの級数は $|x|<1$ でしか収束しない。

$$\frac{1}{1+z^2}=1-z^2+z^4-z^6+\cdots$$

実数だけを見ていると、$1$ で止まる理由がどこにもありません。複素平面へ出ると $\pm i$ に極があり、原点からの距離がちょうど $1$。

収束半径が実軸上の様子と合わないときは、虚軸の側に原因があります。実数だけの世界では説明がつかない現象。

収束円の内側でできること

$|z-a|<R$ の内側では、級数は広義一様収束します。コンパクトな部分集合の上で一様。

だから項別に微分も積分もできます。得られた級数の収束半径は、もとと同じ $R$。

$$f^{\prime }(z)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(z-a{)}^{n-1}$$

$n$ を掛けても $\sqrt[n]{n}\to 1$ なので、上極限は変わりません。何回微分しても半径は保たれる。

級数の和は収束円の内側で正則です。逆に正則関数はべき級数に開けるので、2 つは同じものを別の言葉で言っているだけ^[4,5]。

境界の上では場合による

$|z-a|=R$ の上での振る舞いは、級数ごとに違います。全部収束することも、全部発散することも、混ざることもある。

代表的な 3 つを並べます。どれも収束半径は $1$ です。

真ん中の例が、混ざる場合の典型です。$z=1$ では調和級数になって発散し、$z=-1$ では交代級数で収束します。

アーベルの定理

境界の点で級数が収束しているとき、その値と内部からの極限がつながります。

$\sum a_n$ が収束するなら、$r$ を $1$ へ近づけたときの $\sum a_n{r}^n$ の極限が $\sum a_n$ に一致する。

複素数の場合は、近づき方に条件が付きます。境界に接するように寄ってはいけません。$|1-z|\le M(1-|z|)$ を満たす角の中から近づく必要があります。

この定理のおかげで、有名な値がいくつも計算できます。

$$\log 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$$

$\log (1+z)$ の展開は $|z|<1$ で成り立ちます。$z=1$ での級数が収束するので、アーベルの定理から左辺の値へつながる。

$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$

こちらは $\arctan z$ の展開に $z=1$ を入れた形です。どちらも境界の点での値を、内部からの極限として正当化しています。

逆向きの主張は一般には成り立ちません。極限が存在しても、級数が収束するとは限らない。条件を足した形はタウバー型の定理と呼ばれます^[3]。

和や積の収束半径

2 つの級数を足すと、半径は小さいほうより小さくなりません。

$$R_{f+g}\ge \min (R_f,R_g)$$

半径が違えば等号が成り立ちます。同じなら大きくなることもある。$\sum z^n$ と $\sum (-z^n)$ を足せば $0$ になり、半径は無限大です。

積についても同じ形の不等式が成り立ちます。コーシー積の係数を評価すれば出る。

よくある誤り

係数という数列の情報が、収束円という幾何に翻訳されます。さらにその円は、関数の特異点の位置で説明される。数列と幾何と関数の 3 つが、1 つの半径で結ばれています。

参考文献