複素平面に無限遠点を一つ足すと球になる - リーマン球面と立体射影

複素平面に点を 1 つ足すと、球面になります。足すのは無限遠点と呼ばれる 1 点だけ。

$$\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$$

平面の果ては上下左右のどの向きにもありますが、それを全部 1 点にまとめる。左へ行っても右へ行っても、同じ場所へ着くという約束です。

得るものは大きい。有理関数の極と零点の個数がそろい、メビウス変換が全単射になり、$1/z$ が原点と果てを入れ替えるだけの写像になります。

つなぎ方は立体射影で与えます^[1]。単位球面の北極から光を当てて、赤道面へ影を落とす操作。

座標で書く

単位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ をとり、赤道面を複素平面と同一視します。北極 $N=(0,0,1)$ から球面上の点 $P$ を通る直線が、$z=0$ の面と交わる点が影。

$$\zeta =\frac{x+iy}{1-z}$$

南極 $(0,0,-1)$ が原点へ、赤道が単位円周へ落ちます。南半球が円板の内側、北半球が外側。

逆向きの式も書けます。

$$x=\frac{2\mathrm{Re}\zeta }{1+|\zeta {|}^2},y=\frac{2\mathrm{Im}\zeta }{1+|\zeta {|}^2},z=\frac{|\zeta {|}^2-1}{|\zeta {|}^2+1}$$

$|\zeta |$ を大きくすると $z$ が $1$ へ近づく。北極だけが、どの複素数にも対応しません。そこに $\infty$ を置きます。

2 つのチャートで覆う

球面全体を 1 枚の座標では覆えません。北極を抜いた部分を $\zeta$ で、南極を抜いた部分を別の座標で覆います。

$$\xi =\frac{1}{\zeta }$$

2 つの座標が重なるのは、両極を抜いた部分。そこで $\xi =1/\zeta$ という貼り合わせが効きます。

$\zeta$ の座標では $\infty$ が見えず、$\xi$ の座標では $\xi =0$ として見える。無限遠点が特別でなくなるのは、この 2 枚目のおかげです^[2]。

球面の上では、$0$ と $\infty$ は対等な 2 点にすぎません。どちらを原点と呼ぶかは、座標の選び方の問題。

円は円へ

立体射影には、角を保つという性質があります。球面上の 2 曲線の交角が、影の側でもそのまま残る。

もう 1 つ大切な性質が、円が円へ写ることです。球面を平面で切った切り口の円は、影の側でも円になる。

例外は、切り口が北極を通る場合。そのときだけ影が直線になります^[5]。

直線は無限遠点を通る円

平面の直線を球面へ持ち上げると、北極を通る円になります。だから直線は、無限遠点を通る円だと読める。

この読み替えで、円と直線の区別が消えます。メビウス変換が円を円へ写すという主張も、球面の上ではもっと素直な形になる。

平行な 2 直線は、球面では北極で交わります。無限遠で交わるという言い方の、幾何としての中身がここ。

弦距離

球面の上での近さを、平面の言葉へ翻訳できます。2 点を結ぶ弦の長さを使う。

$$d({\zeta }_1,{\zeta }_2)=\frac{2|{\zeta }_1-{\zeta }_2|}{\sqrt{(1+|{\zeta }_1{|}^2)(1+|{\zeta }_2{|}^2)}}$$

平面では遠く離れた 2 点でも、どちらも絶対値が大きければ球面では近くなります。北極のまわりに集まるため。

$\infty$ との距離も書けます。$\zeta$ と $\infty$ の弦距離は $2/\sqrt{1+|\zeta {|}^2}$ で、$|\zeta |$ が大きいほど小さい。

この距離で測ると、球面はコンパクトになります。どんな点列にも収束する部分列がある。平面ではできなかった議論が通るようになります。

無限遠での正則性

$z=\infty$ で正則かどうかは、座標をとり替えて調べます。$w=1/z$ と置き、$g(w)=f(1/w)$ が $w=0$ で正則かを見る。

$g$ が $w=0$ で正則なら、$f$ は $\infty$ で正則。$g$ が極を持てば $f$ も $\infty$ で極を持ちます。

多項式は $\infty$ で極を持ちます。$f(z)=z^n$ なら $g(w)=w^{-n}$ で、$n$ 位の極。

$e^z$ は $\infty$ が真性特異点です。$g(w)=e^{1/w}$ の主要部が無限に続く。

例：有理関数を球面で見る

$f(z)=P(z)/Q(z)$ を考えます。$\infty$ での振る舞いは、2 つの次数の大小で決まる。

無限遠点まで込めて数えると、零点と極の個数がぴったりそろいます。どちらも $\max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)$ 個。

たとえば $f(z)=1/z$ は $z=0$ に極を 1 つ、$\infty$ に零点を 1 つ持ちます。平面だけで見ると数が合いませんが、球面なら合う。

一般に、次数 $d$ の有理関数はどの値も重複を込めてちょうど $d$ 回とります。値 $\infty$ も含めて成り立つ主張です。

メビウス変換は球面の回転

球面の等角な自己同型は、メビウス変換で尽きます^[3,4]。逆にメビウス変換は、球面全体の全単射。

そのうち剛体回転にあたるものもあります。$1/z$ がその代表で、$x$ 軸のまわりの半回転に対応する。

球面の点 $(x,y,z)$ を $(x,-y,-z)$ へ移す操作が、平面では $\zeta \mapsto 1/\zeta$ になります。座標の式に入れれば確かめられる。

有理型関数は球面への写像

極を $\infty$ という値だと認めれば、有理型関数は球面への連続な写像になります。

極のところで値が定義できないという不都合が消える。$f(z)=1/z$ は原点で $\infty$ という値をとる、と言えるようになります。

正則関数と有理型関数の違いも、行き先の違いとして整理されます。前者は平面への写像、後者は球面への写像。

コンパクトであることの効き目

球面は閉じた面で、コンパクトです。連続関数が最大値をとる、点列に収束する部分列がある、といった性質が使えます。

平面ではこれらが成り立ちません。点が無限に遠くへ逃げられるためです。逃げ場を 1 点にまとめると、逃げられなくなる。

この効き目がはっきり出るのはリウヴィルの定理^[6]。整関数が $\infty$ でも正則なら、球面全体で正則ということになる。

球面はコンパクトなので $|f|$ は最大値をとり、最大値原理からその関数は定数です。有界という条件を、球面まで延びるという条件に置き換えた形。

例：整関数と有理関数の線引き

整関数のうち、$\infty$ で極を持つものは多項式に限られます。$\infty$ での位数が次数になる。

$\infty$ が真性特異点なら、多項式ではありません。$e^z$ や $\sin z$ がそれにあたります^[7,8]。

球面全体で有理型な関数は、有理関数だけ。極が有限個しかありえず、それらを分母に集めれば商の形になるためです。

球面という舞台を用意すると、関数の種類がこのように整理されます。平面のままでは、無限遠での様子が視野に入らない。

よくある誤り

平面に 1 点を足すという小さな操作で、扱いにくかった無限遠がふつうの点になります。$0$ と $\infty$ が対等になり、円と直線の区別が消え、有理関数の数え上げがそろう。舞台をとり替えるだけで、見通しがここまで変わります。

参考文献