三角関数のグラフの平行移動と伸縮

三角関数のグラフは、基本形 $y = sin x$ や $y = cos x$ を平行移動・伸縮させることで様々な形に変化します。変換のルールを理解すれば、複雑なグラフも読み解けるようになります。

基本のグラフ

$y = sin x$ のグラフは、周期 $2 π$ 、振幅 1 の波形です。 $x = 0$ で $y = 0$ を通り、 $x = \frac{π}{2}$ で最大値 1 をとります。

$y = cos x$ のグラフは $y = sin x$ を $x$ 軸方向に $- \frac{π}{2}$ 平行移動したものです。

$y = A sin x$ のグラフは、 $∣ A ∣$ が振幅になります。

A > 1

のとき

グラフが上下に伸びる（振幅が大きくなる）

0 < A < 1

のとき

グラフが上下に縮む（振幅が小さくなる）

$A < 0$ の場合は $x$ 軸に関して反転します。 $y = - sin x$ は $y = sin x$ を上下反転させたグラフです。

$y = sin B x$ のグラフは、周期が $\frac{2 π}{∣ B ∣}$ になります。

B > 1

のとき

周期が短くなり、波が密になります。例えば $y = sin 2 x$ の周期は $π$ です。

0 < B < 1

のとき

周期が長くなり、波が疎になります。例えば $y = sin \frac{x}{2}$ の周期は $4 π$ です。

$y = sin (x - C)$ のグラフは、 $y = sin x$ を $x$ 軸方向に $C$ だけ平行移動したものです。

$y = sin (x - \frac{π}{3})$

このグラフは $y = sin x$ を右に $\frac{π}{3}$ 平行移動させます。

$y = sin x + D$ のグラフは、 $y$ 軸方向に $D$ だけ平行移動したものです。

$y = A sin (B x + C) + D$ の形では、次のようになります。

グラフを描くときは、次の順序で考えると混乱しにくいです。

$y = sin x$ から始める

$x$ を $B x$ に置き換え（周期の変化）

$x$ を $x + C$ に置き換え（左右の移動）

全体を $A$ 倍（振幅の変化）

全体に $D$ を加える（上下の移動）

例えば $y = 2 sin (3 x - π) + 1$ は、周期 $\frac{2 π}{3}$ 、振幅 2、右に $\frac{π}{3}$ 移動、上に 1 移動したグラフです。