横にずらして縦に伸ばす〜三角関数のグラフの変形

$y = 3 sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ のグラフは、 $y = sin x$ を 4 通りに変形した形です。

縦に $3$ 倍、横に $\frac{1}{2}$ 倍、右へ $\frac{π}{6}$ 、上へ $1$ 。数字の役割はこれで全部です。

一般形は次のように書きます^[1]。

$y = A sin (B x - C) + D$

$A$ が振幅、 $\frac{2 π}{∣ B ∣}$ が周期、 $\frac{C}{B}$ が横のずれ、 $D$ が中心の高さ。

つまずくのは $\frac{C}{B}$ のところです。 $C$ をそのままずれと読むと外れます。

縦の伸縮は素直

$y = 3 sin x$ は、 $y = sin x$ の各点の高さを 3 倍にしたものです。

値は $- 3$ から $3$ まで動きます。振幅が $3$ になりました。

$A$ が負なら上下がひっくり返ります。 $y = - 2 sin x$ は $y = 2 sin x$ を $x$ 軸で折り返した形。

振幅は $∣ A ∣$ なので $2$ です。折り返しても高さは変わりません。

$D$ を足すと全体が上下に動きます。 $y = sin x + 1$ なら中心線が $y = 1$ に上がる。

値の範囲は $0$ から $2$ になります。 $D$ は伸ばすのではなく、まるごと持ち上げる数です。

横の伸縮は逆向きに効く

$y = sin 2 x$ は、 $y = sin x$ を横に $\frac{1}{2}$ 倍に縮めた形です。

$2$ を掛けたのに縮む。ここが直感に反します。

理由は、中身が同じ値になる $x$ が半分で済むからです。 $sin x$ が $\frac{π}{2}$ で山になるなら、 $sin 2 x$ は $\frac{π}{4}$ で山になる。

周期は $\frac{2 π}{∣ B ∣}$ です^[1]。 $B = 2$ なら $π$ 、 $B = \frac{1}{2}$ なら $4 π$ 。

$B$ が大きいほど波が詰まり、小さいほど間延びします。

$y = 3 sin x$	縦に 3 倍。振幅 $3$
$y = sin 3 x$	横に $\frac{1}{3}$ 倍。周期 $\frac{2 π}{3}$
$y = sin x + 3$	上へ 3。中心線 $y = 3$
$y = sin (x - 3)$	右へ 3

横のずれは中身を 0 にする x

$y = sin (2 x - π)$ のずれはいくつでしょう。 $π$ ではありません。

中身を $0$ にする $x$ を探します。 $2 x - π = 0$ から $x = \frac{π}{2}$ 。

つまり右へ $\frac{π}{2}$ です。 $B$ で割ったぶんだけ、見た目のずれは小さくなります。

式のほうを変形しても同じことが分かります。 $2 x - π = 2 (x - \frac{π}{2})$ 。

$y = sin (2 (x - \frac{π}{2}))$

くくり出した形にすると、 $x$ から引かれている数がそのままずれになります^[1]。

$B$ でくくる。これが横のずれを読む唯一の確実な手順です。

$y = sin (2 x - π)$ を「右へ $π$ 」と読む誤りは、 $B$ でくくらずに $C$ だけを見たときに起きます。

$sin (2 x - π) = sin (2 (x - \frac{π}{2}))$ とくくれば、ずれは $\frac{π}{2}$ だと目で見えます。

例：y = 3sin(2x - π/3) + 1

順に読んでいきます。まず $B$ でくくる。

$2 x - \frac{π}{3} = 2 (x - \frac{π}{6})$ なので、 $y = 3 sin (2 (x - \frac{π}{6})) + 1$ 。

振幅は $3$ 、周期は $\frac{2 π}{2} = π$ 、右へ $\frac{π}{6}$ 、上へ $1$ 。

値の範囲は $1 - 3 = - 2$ から $1 + 3 = 4$ までです。

最大になる $x$ も出せます。 $sin$ の中身が $\frac{π}{2}$ のとき。

$2 (x - \frac{π}{6}) = \frac{π}{2}$ から $x = \frac{π}{6} + \frac{π}{4} = \frac{5}{12} π$ 。

$x = \frac{5}{12} π$ で $y = 4$ になります。周期が $π$ なので、 $π$ ごとに山が来る。

sin と cos は書き換えられる

$3 sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ を $cos$ で書き直します。

$sin θ = cos (θ - \frac{π}{2})$ を使います^[2]。

中身から $\frac{π}{2}$ を引いて $3 cos (2 x - \frac{π}{3} - \frac{π}{2}) + 1 = 3 cos (2 x - \frac{5}{6} π) + 1$ 。

同じグラフを $cos$ で書いただけです。振幅も周期も中心線も変わりません。

問題文が $cos$ で与えられているときは、 $cos$ のまま読むほうが早い。書き換えは必要なときだけ。

sin で読む

$y = A sin (B (x - p)) + D$ 。 $x = p$ で中心線を横切って昇る

cos で読む

$y = A cos (B (x - q)) + D$ 。 $x = q$ で山の頂上に来る

まちがえやすい点

$y = sin (2 x - π)$ のずれを $π$ とする誤りが最も多い。 $B$ でくくって $\frac{π}{2}$ です。

$y = sin 2 x$ を「横に 2 倍」とする誤りも同じくらい起きます。中身に掛かる数は逆向きに効きます。

$y = sin x + 3$ と $y = sin (x + 3)$ の区別も曖昧になりやすい。前者は上へ、後者は左へ。

外に足すか中に足すかで、動く向きが縦と横に分かれます。中に入っているものは横に効く。

$y = - 3 sin x$ の振幅を $- 3$ とする誤りもあります。振幅は $∣ A ∣$ なので $3$ 。

$y = 2 sin (3 x + \frac{π}{2})$ のグラフは、 $y = 2 sin 3 x$ をどれだけ動かした形ですか。

左へ $\frac{π}{2}$
左へ $\frac{π}{6}$
右へ $\frac{π}{6}$

__RESULT__

$3 x + \frac{π}{2} = 3 (x + \frac{π}{6})$ とくくります。 $x$ に足されているので左へ、量は $\frac{π}{6}$ です。 $\frac{π}{2}$ をそのまま読むと、 $B$ で割る手順が抜けています。

値の範囲も確かめます。

$y = - 2 cos x + 3$ のとる値の範囲はどれですか。

$1 \leq y \leq 5$
$- 5 \leq y \leq - 1$
$- 2 \leq y \leq 2$

__RESULT__

$cos x$ が $- 1$ から $1$ なので、 $- 2 cos x$ は $- 2$ から $2$ です。 $3$ を足すと $1$ から $5$ になります。 $A$ が負でも範囲の幅は変わらず、中心が $D = 3$ に移るだけです。

$B$ でくくり、振幅、周期、ずれ、中心線の順に読む。グラフの変形はこの手順で片づきます。

参考文献

Graphs of the Sine and Cosine Functions. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（

y = A sin (B x - C) + D

、周期

\frac{2 π}{∣ B ∣}

、位相

\frac{C}{B}

、中心線

y = D

）.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.4（

\frac{π}{2} \pm x

の変換）.

$y = 3\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$ は、$y = \sin x$ を縦に $3$ 倍、横に $\dfrac{1}{2}$ 倍、右へ $\dfrac{\pi}{6}$、上へ $1$ したものです。つまずくのは横のずれ。$C$ をそのまま読むと外れるので、$2x - \dfrac{\pi}{3} = 2\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$ と $B$ でくくります。中身に掛かる数が逆向きに効く理由、$y = \sin x + 3$ と $y = \sin(x+3)$ が縦と横に分かれる理由、$\sin$ の式を $\cos$ で書き直す手順まで扱いました。