円と直線を同じものとして扱う、メビウス変換と一次分数変換

分数の形をした写像が、複素平面のいちばん基本的な変換です。

$$w=\frac{az+b}{cz+d}(ad-bc\ne 0)$$

メビウス変換と呼びます^[1]。この 1 つの形の中に、平行移動も回転も拡大も反転も入っている。

いちばん目を引く性質は、円と直線の区別がなくなることです。円は円か直線へ、直線は円か直線へ写ります。直線を無限遠点を通る円だと見なせば、円は円へ写るという 1 本の規則にまとまる。

定義と条件

分母が消えないための条件が $ad-bc\ne 0$ です。これが $0$ だと、分子と分母が比例して写像が定数につぶれる。

$c=0$ なら分母が定数になり、$w=(a/d)z+b/d$ という 1 次関数です。回転と拡大と平行移動の合成にあたる。

$c\ne 0$ のときは $z=-d/c$ で分母が消えます。この点を無限遠点へ送り、無限遠点を $a/c$ へ送ると決めれば、リーマン球面の上で全単射になります。

導関数を計算すると、条件の意味がはっきりします。

$$\frac{dw}{dz}=\frac{ad-bc}{(cz+d{)}^2}$$

分子が $0$ でないので、導関数はどこでも消えません。だからメビウス変換はいたるところ等角^[5]。

行列との対応

係数を並べた行列を考えると、合成が行列の積になります。

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

2 つの変換を続けて施した結果の係数は、行列の積の成分と一致する。逆変換は逆行列に対応します。

行列全体を定数倍しても写像は変わりません。$a,b,c,d$ を $2$ 倍しても分数の値が同じだから。

したがって対応するのは、定数倍を同一視した射影一般線形群です。行列式を $1$ に正規化すると、符号の違いだけが残ります^[2]。

4 つの基本変換に分ける

$c\ne 0$ のとき、割り算をして形を整理します。

$$\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c}\cdot \frac{1}{cz+d}$$

右辺を読むと、次の 4 段階を順に施した形だと分かります。

新しい要素は 2 段目の反転だけです。ほかは学校で習う平面の変換と変わりません。

反転が効いている

$1/z$ は、絶対値を $1/r$ に、偏角を $-\theta$ にします。単位円の外と内を入れ替え、そのあと実軸で折り返す操作です。

原点は無限遠点へ、無限遠点は原点へ移ります。この 2 点を交換するところが、平面の中だけでは扱いきれない部分。

円と直線の区別が消えるのも反転のしわざです。原点を通る円は直線になり、原点を通らない円は円のまま移る。

一般の円と直線は、次の 1 本の式でまとめて書けます。

$$A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0$$

$A\ne 0$ なら円、$A=0$ なら直線。$w=1/z$ を代入すると、$A$ と $D$ が入れ替わった同じ形の式になります。だから族全体が保たれる。

3 点で 1 つに決まる

異なる 3 点をどこへ送るかを決めると、メビウス変換がちょうど 1 つに決まります。

自由度が 3 つあることは係数から読めます。4 つの係数のうち定数倍の自由が 1 つ落ちるので、残りは 3 つ。

3 点より少ないと決まらず、4 点だと一般には無理です。4 点目の行き先は、複比という量で縛られます。

複比

4 点から作る次の量が、メビウス変換で変わりません。

$$(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}$$

3 点を $0$、$1$、$\infty$ へ送る変換を作ってみると、複比が不変であることが見えます。

複比が実数になることと、4 点が同一の円か直線の上にあることが同値です。円が円へ写る性質を、この量から導くこともできます^[2]。

例：3 点を指定して作る

$1$、$i$、$-1$ を $0$、$1$、$\infty$ へ送る変換を組み立てます。複比の形をそのまま使う。

$$w=\frac{(z-1)(i+1)}{(z+1)(i-1)}$$

$z=1$ で分子が消えて $w=0$、$z=-1$ で分母が消えて $w=\infty$、$z=i$ を入れると $w=1$ になります。

3 点が単位円周上にあるので、単位円は直線へ写ります。実際、像は実軸です。

固定点

$f(z)=z$ を解くと、2 次方程式になります。

$$c{z}^2+(d-a)z-b=0$$

恒等写像でなければ、固定点は重複を込めて 2 つ。リーマン球面の上で数えます。

$c=0$ の場合は無限遠点が固定点になり、有限の固定点はもう 1 つだけ。平行移動なら、無限遠点が重複した固定点になります。

4 つの型に分かれる

行列式を $1$ に正規化したときの跡 $a+d$ で、変換の型が決まります。

固定点を $0$ と $\infty$ へ移して見ると、変換は $w\mapsto \lambda w$ の形になります。$\lambda$ を乗数と呼ぶ。

$|\lambda |=1$ なら楕円型で回転、$\lambda$ が正の実数なら双曲型で拡大、どちらでもなければ斜航型で回りながら拡大。放物型は乗数が定義できない別枠です^[1]。

例：型を判定する

$f(z)=\frac{z}{z+1}$ を調べます。行列は成分が $1,0,1,1$ で、行列式は $1$。

跡は $1+1=2$ なので、跡の 2 乗は $4$ です。したがって放物型。

固定点を求めると $z^2=0$ から $z=0$ の重解になります。$1$ つに重なるという分類の内容と合っています。

$f(z)=2z$ なら行列の成分が $\sqrt{2},0,0,1/\sqrt{2}$ で、跡は $\sqrt{2}+1/\sqrt{2}$ です。2 乗すると $4.5$ で $4$ より大きいので双曲型。固定点は $0$ と $\infty$。

円板を自分自身へ写す

単位円板を単位円板へ写すメビウス変換は、次の形に限られます。

$$w=e^{i\theta }\frac{z-\alpha }{1-\bar{\alpha }z}(|\alpha |<1)$$

$\alpha$ が原点へ行く点で、$\theta$ が全体の回し方。$|z|=1$ を代入すると $|w|=1$ になることが直接確かめられます。

この形が、円板の自己同型をすべて尽くします。証明にはシュワルツの補題を使う^[6,7]。

$\alpha$ を選べば、円板の中のどの点も中心へ持ってこられます。だから円板の中に特別な点はありません。

上半平面と円板をつなぐ

上半平面を単位円板へ写す変換にも、簡単な形があります。

$$w=\frac{z-i}{z+i}$$

$z=i$ が $0$ へ行き、実軸が単位円周へ移ります。実際 $z$ が実数なら $|z-i|=|z+i|$ なので、$|w|=1$。

上半平面を自分自身へ写す変換は、係数がすべて実数で $ad-bc>0$ のものです。整数に限れば、モジュラー群と呼ばれる群になります。

球面の回転として見る

リーマン球面まで持ち上げると、メビウス変換は球面全体の等角な自己同型です。逆に、球面の自己同型はメビウス変換しかありません^[3,4]。

そのうち球面の剛体回転にあたるものは、係数が特別な形をした一群です。回転を平面へ射影して見ると、分数の形に化ける。

球面で考える利点は、無限遠点を特別扱いしなくてよくなることです。$0$ と $\infty$ が対等な 2 点になり、$1/z$ はそれを入れ替える半回転にすぎない。

例：無限遠点を含む扱い

$f(z)=1/z$ で $z=0$ を送る先は $\infty$、$z=\infty$ を送る先は $0$ です。平面の中だけでは書けない対応。

$f(z)=z+1$ では、$\infty$ だけが固定点です。有限のどの点も動くので、固定点が 1 つに見える。

球面の上では、$\infty$ が重複した 2 つの固定点として数えられます。放物型という分類は、この数え方の上で意味を持ちます。

よくある誤り

平行移動、回転、拡大、反転。この 4 つを組み合わせるだけで、球面のすべての等角な自己同型が出そろいます。単純な形の中に、これだけの幾何が入っている。

参考文献