メビウス変換で円と直線を移す

メビウス変換（一次分数変換）は、円と直線を円と直線に写す等角写像です。複素解析でよく使われる基本的な変換です。

メビウス変換の形

$f (z) = \frac{a z + b}{cz + d} (a d - b c \neq = 0)$

$a, b, c, d$ は複素数で、 $a d - b c \neq = 0$ という条件が必要です（これがないと定数になってしまいます）。

$c = 0$ のときは $f (z) = \frac{a}{d} z + \frac{b}{d}$ となり、一次関数（平行移動と拡大回転の合成）です。

基本的な性質

メビウス変換には次の性質があります。

円と直線を、円か直線に写す（円円対応）
等角である（ $f^{'} (z) \neq = 0$ となる点で）
メビウス変換の合成もメビウス変換
逆変換もメビウス変換

3 点を指定すると決まる

異なる 3 点 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ を、異なる 3 点 $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ に写すメビウス変換はただ 1 つ存在します。

これは交比を使って表せます。

$\frac{( w - w _{1} ) ( w _{2} - w _{3} )}{( w - w _{3} ) ( w _{2} - w _{1} )} = \frac{( z - z _{1} ) ( z _{2} - z _{3} )}{( z - z _{3} ) ( z _{2} - z _{1} )}$

例：上半平面を単位円板に写す

上半平面 $Im (z) > 0$ を単位円板 $∣ w ∣ < 1$ に写すメビウス変換を求めます。

$z = i$ を $w = 0$ に、 $z = 0$ を $w = - 1$ に、 $z = \infty$ を $w = 1$ に写すとすると

$w = \frac{z - i}{z + i}$

実軸は単位円周に写り、上半平面の内部は単位円板の内部に写ります。

例：円板を円板に写す

単位円板を単位円板に写すメビウス変換は、 $∣ a ∣ < 1$ として

$f (z) = e^{i θ} \frac{z - a}{1 - a ˉ z}$

の形に書けます。

$a = 0$ のときは単なる回転 $f (z) = e^{i θ} z$ になります。

円円対応の証明

円と直線は $∣ z - a ∣ = r$ または直線として統一的に扱える。メビウス変換で代入すると、やはり同じ形の式になる。

複比の不変性

メビウス変換は 4 点の複比を保存する。これは射影幾何学との関連を示している。

メビウス変換の分解

任意のメビウス変換は、次の基本変換の合成で書けます。

平行移動 $z \mapsto z + b$

拡大回転 $z \mapsto a z$

反転 $z \mapsto 1/ z$

平行移動 $z \mapsto z + d$

反転 $z \mapsto 1/ z$ が特に重要で、これが円と直線を入れ替える役割を担います。原点を通る直線は、反転で原点を通らない直線（つまり円）に写ります。

拡張複素平面

メビウス変換を考えるとき、 $\infty$ を加えた拡張複素平面（リーマン球面）を考えると自然です。

$f (z) = \frac{a z + b}{cz + d}$ で $c \neq = 0$ のとき、 $z = - d / c$ では分母が 0 になりますが、 $f (- d / c) = \infty$ と定義します。また $f (\infty) = a / c$ とします。

こうすると、メビウス変換はリーマン球面から自分自身への全単射になります。