複素対数は値が無限にある〜分枝と分枝切断、リーマン面の考え方

$e^w=z$ を満たす $w$ を、$z$ の対数と呼びます。ところが、この $w$ は 1 つに決まりません。

指数関数が $2\pi i$ の周期を持つためです。$w$ が答えなら $w+2\pi i$ も答えになり、解は無限に並ぶ。

$$\log z=\ln |z|+i(\arg z+2\pi n)(n\in \mathbb{Z})$$

実部は $|z|$ だけで決まるので迷いません。ずれるのは虚部、つまり偏角のほうだけ。

$z=0$ には対数がありません^[1]。$e^w$ は決して $0$ にならないので、解が存在しない。

主値

無限に並ぶ値のうち、1 つを標準として選びます。偏角を $-\pi <\theta \le \pi$ に制限したもの。

$$\mathrm{Log}z=\ln |z|+i\mathrm{Arg}z$$

大文字で書く習わしです。$\mathrm{Arg}$ は主値偏角と呼びます。

正の実数では、実の対数と一致します。$\mathrm{Arg}$ が $0$ になるため。

例：いくつか計算する

$\mathrm{Log}(-1)$ を出します。絶対値は $1$ で $\ln 1=0$、主値偏角は $\pi$。

$$\mathrm{Log}(-1)=i\pi$$

$\mathrm{Log}(i)$ なら偏角が $\pi /2$ なので $i\pi /2$ です。$\mathrm{Log}(-i)$ は $-i\pi /2$。

$\mathrm{Log}(1+i)$ は絶対値が $\sqrt{2}$、偏角が $\pi /4$ なので、$\frac{1}{2}\ln 2+i\pi /4$ になります。

分枝と分枝切断

多価のままでは微分も積分もできません。そこで領域を狭めて、一価で連続な関数を切り出します。これを分枝と呼ぶ。

主値を選ぶなら、負の実軸を通れないようにする必要があります。この通れない線を分枝切断と呼びます。

$$\mathbb{C}\setminus (-\infty ,0]$$

この領域で $\mathrm{Log}$ は正則です^[2]。負の実軸を上から近づくと $i\pi$ に、下から近づくと $-i\pi$ に寄るので、そこで $2\pi i$ の跳びが起きる。

切れ目の入れ方は 1 通りではありません。原点から無限遠へ伸びる曲線なら何でもよく、直線である必要すらない。

例：正の実軸を切る

積分路が負の実軸を横切るときは、主値のままでは扱えません。切れ目を別の場所へ移します。

正の実軸を切り、偏角を $0<\theta <2\pi$ にとる分枝を使う。この分枝では $\log (-1)=i\pi$ で主値と同じですが、$\log (1-i\epsilon )$ が $2\pi$ に近い値になります。

どちらの分枝を使っても、切れ目から離れた場所での値は同じか、$2\pi i$ の整数倍だけずれるだけ。問題に合わせて選べばよい。

対数法則が崩れる

実の対数では $\log (xy)=\log x+\log y$ が成り立ちます。主値では成り立ちません。

$z_1=z_2=-1$ で試します。左辺は $\mathrm{Log}(1)=0$。

右辺は $i\pi +i\pi =2\pi i$ です。$2\pi i$ だけずれました。

$$\mathrm{Log}(z_1{z}_2)=\mathrm{Log}{z}_1+\mathrm{Log}{z}_2+2\pi ik$$

$k$ は $-1$、$0$、$1$ のどれかになります。多価のままなら等号は成り立ちますが、主値をとると崩れる^[3]。

$\mathrm{Log}(e^z)=z$ も一般には成り立ちません。$z$ の虚部が $(-\pi ,\pi ]$ の外にあると、その分だけずれます。

微分と原始関数

分枝を固定すれば、対数は正則になります。導関数は実の場合と同じ形。

$$\frac{d}{dz}\log z=\frac{1}{z}$$

逆関数の微分から出ます。$w=\log z$ なら $z=e^w$ で、$dz/dw=e^w=z$。

だから $1/z$ の原始関数が対数です。ただし原点を囲む閉曲線にそって積分すると $2\pi i$ が残るのは、対数が一価でないから。

$${\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i$$

積分定理が使えないのは、単連結な領域で $1/z$ の原始関数が作れないためです。多価性と積分が同じ事実の裏表になっている。

対数写像が輪を帯へ変える

$\log$ は幾何的には、円と半直線の網を格子へ戻す写像です。絶対値が横位置に、偏角が高さに変わる^[6]。

半径 $r_1$ から $r_2$ までの円環は、幅 $\ln r_2-\ln r_1$、高さ $2\pi$ の長方形へ写ります。ただし一周ぶんで縦につながる。

分枝切断は、この帯を上下につなげないための切れ目です。切ってしまえば、帯は素直な長方形になり一価の関数が乗る。

リーマン面

切るかわりに、面のほうを増やす道もあります。偏角が $2\pi$ 進むごとに次の階へ上がる、らせん階段のような面を作る。

各階が 1 つの分枝に対応します。切れ目をまたぐと隣の階へ移るので、値が跳ぶかわりに滑らかにつながる。

この面の上では、対数は一価で正則な関数になります。多価性が、面の形として幾何に置き換わった^[2]。

分岐点

原点のように、まわりを一周すると値が別の枝へ移る点を分岐点と呼びます。対数では原点と無限遠点の 2 つ。

分岐点は孤立特異点ではありません。近くで一価な関数として定義できないので、ローラン展開そのものが作れない。

極や真性特異点とは別の種類の悪さです。分類の枠の外にある^[5]。

平方根 $\sqrt{z}$ も原点が分岐点ですが、こちらは 2 周すればもとに戻ります。枝が 2 枚しかないため。対数は無限に枝が続きます。

積分路と分枝の選び方

実積分を留数で計算するとき、被積分関数に対数やべき根が入ることがあります。そのときは分枝を先に決める。

積分路が切れ目を横切らないように、切れ目の向きを選びます。正の実軸にそう積分なら、切れ目も正の実軸に置いて、経路をその上下すれすれに走らせる。

鍵穴の形をした積分路がよく使われます。切れ目を挟んで往復し、上側と下側で値が $2\pi i$ ずれることを利用して、求めたい積分をとり出す。

$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\frac{\pi }{\sin \pi a}(0<a<1)$$

$z^{a-1}/(1+z)$ を鍵穴の経路で積分すると、この値が出ます。分枝の跳びが計算の道具として働く例です^[4]。

逆三角関数との関係

逆三角関数も、対数で書けます。多価性の出どころが同じ。

$$\arctan z=\frac{1}{2i}\log \frac{1+iz}{1-iz}$$

$$\arcsin z=-i\log \left(iz+\sqrt{1-z^2}\right)$$

分岐点は $\arctan$ では $\pm i$、$\arcsin$ では $\pm 1$ です。実軸上での定義域の端が、そのまま分岐点になっている。

これらの関数を複素平面へ延ばすときは、対数と同じ手順を踏みます。切れ目を入れて分枝を選ぶ。

よくある誤り

一価にするために切るか、面を増やしてつなぐか。どちらの道を選んでも、原点のまわりで値が $2\pi i$ ずれるという事実は動きません。多価性は避けるものではなく、扱い方を決めるものです。

参考文献