指数関数のグラフと性質（底が 1 より大きいときと小さいとき）

$y=2^x$ の値を並べると、$x$ が $1$ 増えるごとに $2$ 倍になります。

一次関数なら $x$ が $1$ 増えるごとに一定の数が足されます。指数関数では一定の数がかかる。

差が一定か、比が一定か。この違いだけで、グラフの形も、$x$ 軸との関係も、増え方の速さも決まります。

どの底でも同じ点を通る

$a^0=1$ なので、$y=a^x$ は底が何であっても $(0,1)$ を通ります^[2]。

$y=2^x$ も $y=10^x$ も $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ も、この 1 点で交わる。

$x=1$ での値は $a^1=a$ なので、$(1,a)$ も通ります。底そのものがグラフに現れる点です。

だから 2 点さえ読めれば底が決まる。$(0,1)$ と $(1,5)$ を通る指数関数は $y=5^x$ しかありません。

底が向きを決める

底が $1$ より大きいか小さいかで、増える一方か減る一方かが分かれます^[3]。

底が $1$ の場合は $y=1$ という横線になるので、指数関数から外します。$a>0$ かつ $a\ne 1$ が約束です。

底が負の数だと、$x=\frac{1}{2}$ のような値で実数にならない。だから底は正に限ります。

$x$ 軸には近づくだけで届かない

$a^x$ はいつでも正の値です^[3]。$2^{-10}=\frac{1}{1024}$ のように小さくはなりますが、$0$ にはなりません。

そのため $x$ 軸が漸近線になる。値域は $y>0$ で、定義域のほうは実数全体です^[1]。

$y=2^x$ が $x$ 軸と交わらないことは、$2^x=0$ に解がないことと同じ内容を言っています。

グラフに角や切れ目もありません。$a^x$ は連続でなめらかにつながります^[2]。

$y$ 軸で折り返すと底が逆数になる

${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$ です。$x$ を $-x$ に替える操作は、$y$ 軸に関する折り返しにあたります。

つまり $y=2^x$ と $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ は $y$ 軸について対称。片方を描けばもう片方も描けます。

底が逆数の関係にある 2 つは、いつでもこの関係になる。$y=3^x$ と $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ も同じです。

右下がりのグラフは、右上がりのものを $y$ 軸で裏返した形になります。

縦に伸ばすのと横にずらすのは同じこと

$y=2\cdot 2^x$ は、$y=2^x$ を縦に $2$ 倍したグラフです。ところが指数法則から $2\cdot 2^x=2^{x+1}$。

$y=2^{x+1}$ は $y=2^x$ を左へ $1$ ずらしたグラフでもあります。同じ 1 本の曲線に、2 通りの説明が付く。

$$k\cdot a^x=a^{x+{\log }_{a}k}$$

一般に、縦に $k$ 倍する操作は横に ${\log }_{a}k$ だけずらす操作と一致します。二次関数では起こらないことです。

$y=8\cdot 2^x$ なら $8=2^3$ だから左へ $3$。$y=\frac{1}{4}\cdot 2^x$ なら右へ $2$ ずれます。

平行移動すると漸近線も動く

$y=a^{x-p}+q$ は、$y=a^x$ を $x$ 方向に $p$、$y$ 方向に $q$ だけ動かしたグラフです。

縦に動かした分だけ漸近線もずれます。$y=0$ だった漸近線が $y=q$ へ移り、値域は $y>q$ になる^[1]。

$y=2^{x-1}+3$ なら、漸近線は $y=3$。$x=1$ のとき $y=4$ なので $(1,4)$ を通ります。

横の移動では漸近線が動きません。$x$ 軸との位置関係は変わらないためです。

$y$ 軸との交点は動きます。$y=2^{x-1}+3$ に $x=0$ を入れると $\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$。

どんな多項式よりも速く増える

$y=2^x$ と $y=x^{10}$ を比べると、しばらくは $x^{10}$ が圧倒します。$x=10$ で $2^{10}=1024$ に対し $10^{10}$ は 100 億。

それでも追い越されます。底が $1$ より大きければ、指数関数はどんな次数の多項式もいつかは上回ります^[4]。

指数関数の増え方は、どんな次数の多項式よりも速い。順位が入れかわるのは $x=58$ と $x=59$ のあいだです。

$2^{58}\approx 2.88\times 10^{17}$ に対し $58^{10}\approx 4.31\times 10^{17}$。ところが $2^{59}\approx 5.76\times 10^{17}$、$59^{10}\approx 5.11\times 10^{17}$。

一度追い越したあとは差が開く一方になります。$x=100$ では $2^{100}$ が $100^{10}$ のおよそ 127 億倍。

底が $1$ より小さい側では、同じことが $0$ への近づき方の速さとして現れます。

通る点も、向きも、漸近線も、増え方の速さも、比が一定という 1 行につながっています。

参考文献