指数関数のグラフと性質

指数関数 $y = a^{x}$ は、底 $a$ の値によってグラフの形が変わります。基本的な性質を理解しておくと、方程式や不等式の問題がスムーズに解けます。

指数関数の定義

$a > 0$ 、 $a \neq = 1$ のとき、 $y = a^{x}$ を底 $a$ の指数関数と呼びます。

$a = 1$ のときは $y = 1$ という定数関数になってしまうので、指数関数からは除外します。

底 $a$ の値によってグラフは2種類に分かれます。

a > 1

のとき

右上がりのグラフ（単調増加）。 $x$ が増えると $y$ も増える。

0 < a < 1

のとき

右下がりのグラフ（単調減少）。 $x$ が増えると $y$ は減る。

底の値に関係なく、次の性質が成り立ちます。

(0, 1)

を通る（

a^{0} = 1

より）

x

軸が漸近線（

y

は 0 に近づくが、0 にはならない）

y > 0

（常に正の値をとる）

定義域は全実数、値域は正の実数

$y = 2^{x}$ のグラフを考えます。

$x$ が 1 増えるごとに $y$ は 2 倍になります。これが指数関数の「爆発的な増加」の原因です。

$y = (\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ なので、 $y = 2^{x}$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したものです。

対称性

$y = a^{x}$ と $y = (\frac{1}{a})^{x}$ は $y$ 軸に関して対称です。

減衰の様子

$y = (\frac{1}{2})^{x}$ は $x$ が増えると急速に 0 に近づきます。放射性物質の半減期などで使われます。

$y = a^{x - p} + q$ は、 $y = a^{x}$ を $x$ 方向に $p$ 、 $y$ 方向に $q$ 平行移動したグラフです。

$y = 2^{x - 1} + 3$ は、 $y = 2^{x}$ を右に 1、上に 3 移動したもので、点 $(1, 4)$ を通り、漸近線は $y = 3$ になります。