複素べき関数の定義と性質

実数の世界では $x^{1/2} = x$ や $x^{3/4}$ といったべき関数を自然に扱える。複素数に拡張すると、指数が整数でない場合に多価性が現れ、慎重な定義が必要となる。

複素べき関数の定義

$z \neq = 0$ と $α \in C$ に対して、複素べき関数は複素対数を用いて

$z^{α} = e^{α l o g z}$

と定義される。 $lo g z$ が多価関数なので、 $z^{α}$ も一般には多価関数だ。

$lo g z = lo g ∣ z ∣ + i (ar g z + 2 πn)$ を代入すると

$z^{α} = ∣ z ∣^{α} e^{i α (a r g z + 2 πn)} = ∣ z ∣^{α} e^{i α a r g z} \cdot e^{2 πin α}$

となる。 $e^{2 πin α}$ の部分が $n$ によって異なる値を取るかどうかで、多価性の様相が決まる。

整数指数（

α \in Z

）

$e^{2 πin α} = 1$ となり、 $z^{α}$ は一価関数。通常のべき乗と一致する。

有理数指数（

α = p / q

、既約）

$e^{2 πin α}$ は $q$ 個の異なる値を取り、 $z^{α}$ は $q$ 価関数となる。 $n$ -乗根が典型例。

無理数・複素数指数

$e^{2 πin α}$ はすべて異なる値となり、 $z^{α}$ は無限多価関数。

$α = 1/2$ のとき、 $z^{1/2} = z$ は 2 価関数となる。 $z = r e^{i θ}$ に対して

$z = r e^{i θ /2} または z = r e^{i (θ /2 + π)}$

の 2 つの値を取る。これらは互いに符号が逆で、 $w_{1} = - w_{2}$ の関係にある。

主値を定めるには、対数関数と同様に分枝切断を設定する。負の実軸を分枝切断とし、 $-\pi < \arg z \leq \pi$ とすれば

$z = ∣ z ∣ e^{i Arg z /2}$

が主値となる。正の実数 $x > 0$ に対しては通常の正の平方根 $x$ と一致する。

$α$ 自体が複素数のとき、たとえば $z^{i}$ を考えてみよう。

$z^{i} = e^{i l o g z} = e^{i (l o g ∣ z ∣ + i a r g z)} = e^{- a r g z} \cdot e^{i l o g ∣ z ∣}$

$ar g z$ の取り方で $e^{- a r g z}$ が変わるため、やはり多価となる。 $z = e$ （自然対数の底）のとき

$e^{i} = e^{i \cdot 1} = cos 1 + i sin 1$

は一意に定まるが、一般の $z^{i}$ は分枝の選択に依存する。

分枝を固定すれば、 $z^{α}$ は分枝切断を除いた領域で正則となる。その導関数は

$\frac{d}{d z} z^{α} = α z^{α - 1}$

で与えられ、実数のべき関数の微分公式と形式的に同じだ。ただし右辺の $z^{α - 1}$ も同じ分枝を取る必要がある。