リーマンの写像定理

リーマンの写像定理は、複素解析における最も重要かつ美しい定理の一つだ。単連結な領域が位相的にはすべて同じ（単位円板と同相）であることを、正則写像の存在という形で主張する。

定理の主張

$D$ を $\mathbb{C}$ の単連結な真の領域（$D\ne \mathbb{C}$）とする。このとき、$D$ から単位円板 \mathbb{D} = \{z : |z| < 1\} への全単射正則関数（等角写像）が存在する。

なぜ $\mathbb{C}$ が除外されるかというと、リウヴィルの定理により $\mathbb{C}$ から $\mathbb{D}$ への有界正則関数は定数しかないからだ。

証明の構成

リーマンの写像定理の証明は、以下のステップで構成される。

まず $D$ 内の点 $z_0$ を固定し、次の関数族を考える。

$$\mathcal{F}=\{f:D\to \mathbb{D}\mid f\text{ は単射正則},f(z_0)=0\}$$

この族が空でないことを示す。$D\ne \mathbb{C}$ なので、$D$ に含まれない点 $a$ が存在する。$\sqrt{z-a}$ の分枝を取れば、これは $D$ 上で単射正則となり、適当にスケーリングして $\mathbb{D}$ に写像できる。

次に ${\sup }_{f\in \mathcal{F}}|f^{\prime }(z_0)|$ を達成する関数の存在を示す。$\mathcal{F}$ は有界関数の族なのでモンテルの定理より正規族であり、上限を達成する列の収束部分列が取れる。

最後に、この極限関数 $f^{\ast }$ が全射であることを示す。もし $w_0\in \mathbb{D}$ が像に入らなければ、適当な変換で $|f^{\prime }(z_0)|$ をより大きくできることが示され、最大性に矛盾する。

一意性

リーマンの写像定理で得られる等角写像は一意ではない。しかし、次の正規化条件を課すと一意になる。

後者は証明でも使われる自然な正規化で、「リーマン写像」と言えば通常この正規化を指す。

等角写像の具体例

いくつかの単連結領域に対して、単位円板への等角写像は明示的に求められる。

上半平面 $\{z:\mathrm{Im}z>0\}$ から $\mathbb{D}$ へはケイリー変換

$$f(z)=\frac{z-i}{z+i}$$

が等角写像を与える。帯状領域 \{z : 0 < \mathrm{Im}\, z < \pi\} は、まず $e^z$ で上半平面に移し、次にケイリー変換を適用すればよい。

しかし、一般の領域では明示的な公式を求めることは難しく、数値的に計算することが多い。

境界対応

リーマンの写像定理は内部の等角同値を保証するが、境界の対応については別途議論が必要だ。カラテオドリの定理によれば、$D$ の境界がジョルダン曲線（単純閉曲線）ならば、等角写像は閉包上に連続に拡張でき、境界から境界への同相写像を誘導する。

境界が滑らかな場合はさらに強く、境界上でも正則性（微分可能性）が保たれる。一方、境界に角や尖点があると、その近くで写像の振る舞いは特異的になる。