どんな単連結領域も円板になる、リーマンの写像定理はなぜ例外が一つだけか

複素平面全体でない単連結な領域は、どれも単位円板へ等角に、しかも 1 対 1 に写せます。

形がどれだけ入り組んでいても関係ありません。細長くても、ぎざぎざでも、切れ目が入っていても、円板と同じものだと言い切る定理です。

$$U⊊\mathbb{C},U\text{ は単連結}⟹U\simeq \mathbb{D}$$

除かれるのは平面全体だけ^[1]。空集合を別にすれば、例外はこの 1 つです。

領域の形という幾何の情報が、単連結かどうかという位相の情報だけに潰れてしまう。ここがこの定理の驚きどころ。

平面全体が除かれる理由

$\mathbb{C}$ から円板への正則写像を考えると、それは有界な整関数です。リウヴィルの定理から定数になる。

定数写像は 1 対 1 ではありません。だから平面全体を円板へ等角に写すことはできない。

位相の意味では、平面と円板は同相です。$z\mapsto z/(1+|z|)$ が全単射で連続な写像になる。等角という条件を課した瞬間に、できなくなります。

球面も除かれます。コンパクトなので、円板と同相にすらならない。

一意性

写像は 1 つに決まりません。円板の自己同型を後ろに合成すれば、別の写像ができます。

条件を 2 つ足すと一意になります。ある点 $z_0$ を原点へ送り、$f^{\prime }(z_0)$ を正の実数にする。

$$f(z_0)=0,f^{\prime }(z_0)>0$$

自由度は 3 つ^[2]。$z_0$ の位置で 2 つ、微分の偏角で 1 つです。円板の自己同型の自由度とちょうど一致します。

証明はシュワルツの補題から。2 つの写像が同じ条件を満たすなら、合成が原点を止める自己同型になり、恒等写像しかありえない^[5]。

決めた点がどこへ行くかと、そこでの回り方を固定して、はじめて 1 つに決まります。

証明の骨組み

存在の証明は 3 段階に分かれます。どれも直接には写像を書きません。

第 1 段は、$U$ から円板への単射な正則写像を 1 つでも作ること。第 2 段は、そういう写像を全部集めた族の中で、指定した点での微分の大きさを最大にするものを選ぶこと。第 3 段は、その最大を実現する写像が全射だと示すことです。

第 1 段：円板の中へ入れる

$U$ が平面全体でないので、$U$ に属さない点 $a$ がとれます。$U$ は単連結なので、$z-a$ の平方根が一価に定義できる。

$$h(z)=\sqrt{z-a}$$

$h$ は単射です。$h(z_1)=h(z_2)$ なら 2 乗して $z_1=z_2$。

さらに $h(U)$ と $-h(U)$ は交わりません。交われば $h(z_1)=-h(z_2)$ から $z_1=z_2$ となり、$h(z_1)=0$ すなわち $z_1=a$ になってしまう。

$-h(U)$ は開集合なので、そこに円板が入ります。その円板を避ける $h(U)$ を、反転と平行移動で有界にすれば、円板の中へ収まる。

第 2 段：微分を最大にする

$z_0$ を固定し、$U$ から円板への単射な正則写像で $f(z_0)=0$ を満たすもの全部を $\mathcal{F}$ とします。第 1 段から空ではありません。

$|f^{\prime }(z_0)|$ の上限を $M$ とする。円板へ写すので族は局所有界で、モンテルの定理から正規です。

上限へ向かう列をとり、収束部分列を選ぶと極限 $f$ が得られます^[3,4]。$|f^{\prime }(z_0)|=M$ が成り立つ。

極限が単射であることは、フルヴィッツの定理から出ます。単射な関数の列の広義一様極限は、単射か定数^[7]。$M>0$ なので定数ではありません。

第 3 段：全射でなければ改良できる

$f$ が全射でないとします。$f(U)$ に入らない点 $c$ をとる。

自己同型で $c$ を原点へ送り、平方根をとり、もう一度自己同型で原点へ戻す。この合成をシュワルツの補題で評価すると、微分の大きさが真に大きくなります。

$$|g^{\prime }(z_0)|=\frac{1+|c|}{2\sqrt{|c|}}|f^{\prime }(z_0)|>|f^{\prime }(z_0)|$$

係数は $|c|<1$ のとき $1$ より大きい。相加平均と相乗平均の関係からすぐ出ます。

$M$ が上限だったことに反するので、$f$ は全射です。ケーベによるこの平方根の使い方が、証明の山場になります。

具体的に書ける例

証明は存在を言うだけで、写像の式は与えません。それでも、形の整った領域なら手で書けます。

どれも、いったん上半平面を経由します。上半平面と円板の対応が 1 本あれば、あとはその手前をつなぐだけ。

多角形の内部へ写す場合は、シュワルツ・クリストッフェルの積分公式があります。頂点の角度から積分の形が決まる^[8]。

一般の領域では、閉じた式が書けません。数値的に近似する方法が研究されています。

境界はどうなるか

写像は領域の内部で定義されます。境界まで連続に延びるかどうかは、別の問題です。

境界が単純閉曲線なら、延びます。カラテオドリの定理と呼ばれ、閉円板から閉領域への同相写像に延長できる。

境界が複雑だと崩れます。たとえば内側へ無限に細い切れ目が入っていると、境界の点が 1 対 1 に対応しない。

局所連結であることが、連続に延びるための条件になります^[6]。

ケーベの 1/4 定理

写像がどれくらい像を広げるか、という定量的な結果もあります。

$f$ が単位円板で単射な正則関数、$f(0)=0$、$f^{\prime }(0)=1$ とする。このとき $f$ の像は、原点を中心とする半径 $1/4$ の円板を含みます。

$$\left\{|w|<\frac{1}{4}\right\}\subseteq f(\mathbb{D})$$

$1/4$ という値は最良です。ケーベ関数 $k(z)=z/(1-z{)}^2$ の像が、負の実軸の $-1/4$ から先を切り取った平面になる。

回転してもへこみの深さは変わりません。どの向きから見ても、原点から $1/4$ までは必ず像に入っています。

穴があると成り立たない

単連結という条件は外せません。円環領域は、どれも円板とは等角に対応しない。

さらに、円環どうしでも一般には対応しません。内半径と外半径の比が同じ円環だけが、互いに等角に写り合います。

$$\frac{R_2}{R_1}=\frac{R_2^{\prime }}{R_1^{\prime }}$$

この比をモジュラスと呼びます。穴が 1 つ増えるだけで、連続的に変わるパラメータが現れる。

穴が $n$ 個の領域では、パラメータの個数が増えていきます。パラメータがまったく現れない単連結の場合が、むしろ特別です。

一意化定理へ

リーマン面まで広げた形が一意化定理です。単連結なリーマン面は、円板か平面か球面のどれか 1 つに等角同値になります。

3 つしかない、という結論の強さがリーマンの写像定理と同じ性格を持っています。曲面の幾何が、双曲か放物か楕円かの 3 種類に分かれる。

平面の領域についての定理が、曲面の分類にまで届きます。

よくある誤り

領域の形という細かい情報が、単連結かどうかという 1 ビットに潰れる。この定理は、複素解析の中でも特に強い言明のひとつです。

参考文献