三角関数の微分、sin と cos はなぜ入れ替わるのか

三角関数の微分は、$3$ つの公式から始まります^[3]。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

正弦を微分すると余弦、余弦を微分すると符号の付いた正弦。$2$ つの関数が入れ替わりながら、符号だけが増えていきます。

青い線分が、その点での接線です。山の頂上で傾きが $0$、下り坂で負、谷底でまた $0$。この上下が余弦のグラフそのものになります。

出発点になる 2 つの極限

定義から計算するには、$h\to 0$ での極限を $2$ つ用意します^[1]。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1,\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}=0$$

前者は単位円の面積の比較から出ます。中心角 $h$ の扇形が、$2$ つの三角形にはさまれる形。

面積の大小をそのまま式にすると $\sin h<h<\tan h$ です。各辺を $\sin h$ で割ると $1>\frac{\sin h}{h}>\cos h$ となり、$h\to 0$ で両端が $1$ に近づく^[2]。

はさみうちの原理から、真ん中の値も $1$ に決まります。この極限が、三角関数の微分すべての土台。

正弦の導関数を定義から求める

加法定理で $\sin (x+h)$ を開くところが出発点です。

$$\sin (x+h)-\sin x=\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h$$

両辺を $h$ で割ると、先ほどの極限が $2$ つとも顔を出します。

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}& =\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}\\ & ⟶\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1\end{array}$$

残るのは $\cos x$ です。$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ が、極限 $2$ つと加法定理だけで出ました。

余弦は正弦から出せる

余弦は定義に戻らなくても求まります。$\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ と書き直すだけ。

$$(\cos x{)}^{\prime }=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\cdot (-1)=-\sin x$$

内側の $-x$ から負号が生まれます。合成関数の微分を使えば、公式を $1$ つ覚えるだけで $2$ つぶん働く。

正接は商の微分で出る

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ に商の公式を当てます。

$$\begin{array}{rl}(\tan x{)}^{\prime }& =\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\end{array}$$

分子が $1$ になるのは、三角関数の基本の関係が効くためです。$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ は常に正なので、$\tan x$ は各区間で増え続ける。

4 回で元に戻る

微分を繰り返すと、$4$ 回で最初の関数に帰ってきます。

$-\cos x$ をもう一度微分すると $\sin x$ に戻ります。余弦から始めても同じ輪をたどる。

この周期性は $n$ 階の公式にまとまります。$\sin$ の $n$ 階微分は $\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$ で、$n$ を $4$ 増やすと角が $2\pi$ 進んで元どおり。

例：内側に式が入る形

$y=\sin 2x$ は合成関数です。外側の微分 $\cos 2x$ に、内側の微分 $2$ を掛けます。

$$y^{\prime }=2\cos 2x$$

$y=\cos (x^2)$ なら内側の微分が $2x$ になり、$y^{\prime }=-2x\sin (x^2)$。$y=\tan 3x$ なら $y^{\prime }=\frac{3}{{\cos }^{2}3x}$ です。

内側が $1$ 次式なら係数が前に出るだけ。$2$ 次式以上なら、その微分を書き添える手間が増えます。

例：積の形を微分する

$y=x\sin x$ を積の公式で計算します。片方だけ微分した項を $2$ つ作って足す形。

$$y^{\prime }=1\cdot \sin x+x\cos x=\sin x+x\cos x$$

$y=\sin x\cos x$ なら $y^{\prime }={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ となり、倍角の公式で $\cos 2x$ にまとまります。$y=\frac{1}{2}\sin 2x$ と書き直してから微分しても、同じ答えにたどり着く。

例：分数の形を微分する

$y=\frac{\sin x}{x}$ は商の公式です^[1]。

$$y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$

$y=\frac{1}{\cos x}$ なら $y^{\prime }=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$ になります。分子が $1$ の形は、$(\cos x{)}^{-1}$ と見て合成の公式で処理しても結果は変わりません。

弧度法でないと成り立たない

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ が使えるのは、角を弧度法で測っているときだけです。度数法のままだと係数が付いてしまう。

$${\left(\sin x^{\circ }\right)}^{\prime }=\frac{\pi }{180}\cos x^{\circ }$$

$x^{\circ }=\frac{\pi x}{180}$ という置きかえの、内側の微分が残るためです。$\frac{\pi }{180}$ はおよそ $0.0175$ で、公式の形をはっきり壊します。

弧度法が採用されているのは、この係数を $1$ にするため。角の測り方を変えただけで、微分の式がここまで簡単になります。

使いどころ

三角関数が繰り返し現れる分野では、微分の周期性がそのまま計算の見通しになります。$4$ 回で戻るという性質を、道具として使えるかどうかが分かれ目。

参考文献