複素数（数学Ⅱ）

2次元と3次元における極座標と直交座標の変換公式。極座標→直交座標と直交座標→極座標。

1の3乗根とその公式。1の3乗根のうち1でない数をωとすると、ω²+ω+1=0が成り立つ

虚数単位 $i$ は、2乗すると $-1$ になる数として定義される。 \[ i^2 = -1 \] 実数の範囲では、どんな数を...

複素数 $z_1 = a + bi$ と $z_2 = c + di$（$a, b, c, d$ は実数）に対して、四則演算は次...

複素数 $z = a + bi$ に対して、虚部の符号を反転させた $\bar{z} = a - bi$ を $z$ の共役複素...

2つの複素数 $z_1 = a + bi$ と $z_2 = c + di$（$a, b, c, d$ は実数）が等しいための条...

複素数 $z = a + bi$ を平面上の点 $(a, b)$ と対応させることで、複素数を幾何学的に扱えるようになる。この平...

複素数を表す方法として、$a + bi$ という直交形式のほかに、絶対値と偏角を用いた極形式がある。 複素数 $z = a + ...

複素数の積と商は、複素数平面上で回転と拡大・縮小として解釈できる。これは極形式を用いると明確になる。 積の幾何学的意味 $z_1...

ド・モアブルの定理は、複素数の累乗を計算するための基本公式である。 $n$ を整数とするとき、 \[ (\cos\theta +...

$z^n = 1$ を満たす複素数 $z$ を1の $n$ 乗根という。1の $n$ 乗根は複素数平面上で正 $n$ 角形の頂点...

実数係数の二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）の解は、解の公式 \[ x = \frac{...

複素数平面上の回転移動は、複素数の積で表現できる。これは複素数平面の最も強力な応用の一つである。 原点中心の回転 点 $z$ を...

$i$ の累乗は周期4で循環するため、$i^n$ の値は $n$ を4で割った余りだけで決まる。 例題1 $i^{53}$ を求...

複素数の除法では、分母に共役複素数を掛けて分母を実数化する。$\dfrac{a + bi}{c + di}$ の形を計算する手順...

複素数 $z = a + bi$ の絶対値は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で定義される。複素数平面上で原点...

複素数の相等条件「$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ かつ $b = d$」を使い、...

複素数 $z = a + bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ に変換するには、絶対値 ...

極形式では積・商・累乗の計算が簡単になる。偏角の加減とド・モアブルの定理を使う。 積の公式 \[ r_1(\cos\theta_...

複素数平面上の2点間の距離と中点は、複素数の演算で簡潔に表せる。 2点間の距離 点 $z_1$ と点 $z_2$ の距離は \[...

正多角形の頂点は、1つの頂点を中心や他の頂点のまわりに回転させることで求められる。 原点中心の正 n 角形 原点中心、半径 $r...

方程式 $z^n = \alpha$ の解（$\alpha$ の $n$ 乗根）を求める方法を見ていく。 解法の手順 $\alp...

複素数平面上の図形を複素数の式で表す方法を見ていく。 円の方程式 中心 $\alpha$、半径 $r$ の円は \[ |z - ...

共役複素数の性質を使うと、計算が簡潔になる場面が多い。主なテクニックを紹介する。 実部・虚部の取り出し $z = a + bi$...

複素数平面上の3点が作る三角形の形状を、複素数の演算で判定できる。 3点が同一直線上にある条件 3点 $z_1$, $z_2$,...