位相幾何学

ホモトピーは、2つの連続写像が「連続的に変形可能」であることを表す位相空間論の概念です。直感的には、ある写像を途切れさせることな...

基本群は位相空間の「穴」の構造を代数的に捉える不変量です。ここでは基本的な空間の基本群を具体的に計算します。 基本群の復習 位相...

被覆空間は基本群を計算し理解するための強力な道具です。被覆空間の分類は基本群の部分群の分類に帰着されます。 被覆空間の定義 連続...

ホモトピー同値は位相空間の「本質的な形」が同じであることを表す概念です。同相より弱い同値関係ですが、多くの位相的不変量を保存しま...

ザイフェルト・ファン・カンペンの定理を使い、空間を部分に分けて基本群を計算する方法を、自由積・融合積の基礎からトーラス・実射影平...

基本群 $\pi_1$ はループを用いて定義されましたが、これを高次元に一般化したものが高次ホモトピー群です。$n$ 次元球面か...

単体複体と境界作用素を使い、位相空間の「穴」をホモロジー群として数える方法を、定義から円周の具体計算、ねじれ、オイラー標数、パー...

任意の位相空間に定義できる特異ホモロジーを、標準単体・特異鎖群・境界作用素から解説します。一点・円周 S^1・球面 S^n・トー...

ホモロジー群は位相空間の「穴」を代数的に捉えます。ここでは基本的な空間のホモロジー群を具体的に計算します。 球面 $S^n$ の...

Mayer-Vietoris完全列は、空間を2つの部分空間に分解してホモロジーを計算するための強力な道具です。van Kampe...

位相空間の数値不変量であるオイラー標数とベッチ数を、定義から豊富な計算例まで解説します。球面・トーラス・射影平面の計算、V−E+...

コホモロジーはホモロジーの双対理論です。ホモロジーが「穴を検出する」のに対し、コホモロジーは「穴を測定する関数」を扱います。 コ...

カップ積はコホモロジーに環構造を与える積演算です。コホモロジー環は位相空間の重要な不変量であり、ホモロジーにはない情報を持ちます...

de Rhamコホモロジーは微分形式を用いて定義されるコホモロジー理論です。滑らかな多様体に対して、微積分の道具でコホモロジーを...

Poincaré双対性は、コンパクト向き付け可能多様体のホモロジーとコホモロジーの間の対称性を表す定理です。多様体の位相幾何学に...

多様体の向き付け可能性は、多様体全体で「一貫した向き」を定められるかどうかを表す性質です。向き付け可能性はホモロジーやPoinc...

位相空間の次元はホモロジーを用いて特徴づけられます。ホモロジーは次元を検出し、異なる次元の空間が同相でないことを示す道具となりま...

円板から自身への連続写像は必ず不動点を持つ、というブラウワー（Brouwer）の不動点定理を、コーヒーや地図の直感から解説します...

Borsuk-Ulamの定理は球面から同次元ユークリッド空間への連続写像について、対蹠点で同じ値を取る点が存在することを主張しま...

ハム・サンドイッチ定理はBorsuk-Ulamの定理の応用として有名な結果です。$n$ 個の対象を1つの超平面で同時に二等分でき...

ファイバー束（ファイバーバンドル）を、円柱とメビウスの帯の対比から直感的に解説します。局所自明性という定義の意味、被覆空間・ベク...

ベクトル束は各点にベクトル空間を付けた構造で、多様体上の幾何学の基礎となります。接束は最も重要なベクトル束の例です。 ベクトル束...

Hopfファイブレーションは $S^3$ から $S^2$ への自然なファイバー束で、代数的位相幾何学の最も美しい例の一つです。...

特性類はベクトル束や主束の「ねじれ」を測るコホモロジー類です。Stiefel-Whitney類とChern類は最も基本的な特性類...

CW複体は胞体（cell）を順次貼り付けて構成される空間で、代数的位相幾何学の基本的な対象です。多くの位相空間はCW複体とホモト...

ファイバー束のホモトピー群の間には長完全列が存在します。これを用いると、複雑な空間のホモトピー群を計算できます。 ファイバー束の...

Whiteheadの定理は、CW複体の間の弱ホモトピー同値がホモトピー同値であることを主張します。ホモトピー論においてCW複体が...

懸垂（suspension）とループ空間は互いに随伴の関係にある基本的な構成です。これらはホモトピー群の次元をシフトさせ、安定ホ...

de Rhamの定理は、滑らかな多様体上のde Rhamコホモロジーと特異コホモロジーが同型であることを主張します。ここでは層コ...

Stokesの定理は微分形式の積分と外微分を結びつける基本定理です。Green の定理、発散定理、古典的な Stokes の定理...

層コホモロジーは位相空間上の「局所から大域への障害」を測る理論です。代数幾何学や複素解析で中心的な役割を果たし、de Rham ...

圏論は位相幾何学の構造を整理し、異なる理論間の関係を明確にする言語です。ここでは圏論の基本概念と位相幾何学への応用を解説します。...

位相空間の「穴」を代数的に検出する最も基本的な道具が基本群だ。ループのホモトピー類に群構造を入れることで、空間の位相的性質を群論...

位相幾何学の根本的な問いは「2つの空間は本質的に同じか」である。この問いに答えるための道具がホモトピー不変量だ。ホモトピー同値な...

レトラクトは位相空間とその部分空間の関係を記述する概念であり、ホモトピー論において中心的な役割を果たす。レトラクション、変形レト...